Упр.1106 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

а) $$1 < \frac{3x-1}{2x+1} < 2$$;

б) $$1 < \frac{2x-1}{3x+1} < 2$$.

а) Решим систему неравенств:

$$1<\frac{3x-1}{2x+1}<2$$

1) $$1<\frac{3x-1}{2x+1}$$

$$\frac{3x-1-(2x+1)}{2x+1}>0$$
$$\frac{x-2}{2x+1}>0$$
Отсюда
$$x<-\frac12 \quad \text{или} \quad x>2.$$

2) $$\frac{3x-1}{2x+1}<2$$

$$\frac{3x-1-2(2x+1)}{2x+1}<0$$
$$\frac{-x-3}{2x+1}<0$$
$$\frac{x+3}{2x+1}>0$$
Отсюда
$$x<-\frac32 \quad \text{или} \quad x>-\frac12.$$

Пересекаем полученные множества:

$$\left(-\infty;-\frac32\right)\cup(2;+\infty).$$

б) Решим систему неравенств:

$$1<\frac{2x-1}{3x+1}<2$$

1) $$1<\frac{2x-1}{3x+1}$$

$$\frac{2x-1-(3x+1)}{3x+1}>0$$
$$\frac{-x-2}{3x+1}>0$$
$$\frac{x+2}{3x+1}<0$$
Отсюда
$$-2<x<-\frac13.$$

2) $$\frac{2x-1}{3x+1}<2$$

$$\frac{2x-1-2(3x+1)}{3x+1}<0$$
$$\frac{-4x-3}{3x+1}<0$$
$$\frac{4x+3}{3x+1}>0$$
Отсюда
$$x<-\frac34 \quad \text{или} \quad x>-\frac13.$$

Пересекаем полученные множества:

$$\left(-2;-\frac34\right).$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\infty;-\frac32\right)\cup(2;+\infty)$$;
б) $$x\in\left(-2;-\frac34\right)$$.