Упр.1105 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Решите неравенство:
а) $$\frac{x}{x-1}-\frac{2}{x+1}<\frac{8}{x^2-1}$$;
б) $$\frac{4}{x+1}-\frac{x}{x-1}>\frac{3}{x^2-1}$$.

а) Область допустимых значений: $$x \ne -1,\; x \ne 1.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{x}{x-1}-\frac{2}{x+1}<\frac{8}{x^2-1}$$

$$\frac{x(x+1)-2(x-1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{8}{x^2-1}<0$$

$$\frac{x^2+x-2x+2-8}{x^2-1}<0$$

$$\frac{x^2-x-6}{x^2-1}<0$$

Разложим на множители:

$$\frac{(x+2)(x-3)}{(x-1)(x+1)}<0$$

Критические точки: $$x=-2,\,-1,\,1,\,3.$$

Исследуем знак дроби. Получаем:

$$x\in(-2;-1)\cup(1;3).$$

б) Область допустимых значений: $$x \ne -1,\; x \ne 1.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{4}{x+1}-\frac{x}{x-1}>\frac{3}{x^2-1}$$

$$\frac{4(x-1)-x(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{3}{x^2-1}>0$$

$$\frac{4x-4-x^2-x-3}{x^2-1}>0$$

$$\frac{-x^2+3x-7}{x^2-1}>0$$

Умножим числитель на $$-1$$, изменив знак неравенства:

$$\frac{x^2-3x+7}{x^2-1}<0$$

Для числителя:

$$D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot 7=9-28=-19<0,$$

значит $$x^2-3x+7>0$$ при всех $$x.$$

Тогда неравенство выполняется, когда

$$x^2-1<0,$$

то есть

$$-1<x<1.$$

Ответ

а) $$x\in(-2;-1)\cup(1;3)$$; б) $$x\in(-1;1)$$.