Упр.1073 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Докажите неравенство (a, b, c — действительные числа): $$\left(a+b+c\right)^2 \geq a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(a+b-c)$$.

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$$a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(a+b-c)=ab+ac-a^2+ab+bc-b^2+ac+bc-c^2.$$

Тогда нужно доказать, что

$$(a+b+c)^2 \ge ab+ac-a^2+ab+bc-b^2+ac+bc-c^2.$$

Раскроем квадрат суммы:

$$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \ge 2ab+2ac+2bc-a^2-b^2-c^2.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$2a^2+2b^2+2c^2 \ge 0.$$

Это верно при любых действительных $$a$$, $$b$$, $$c$$, так как квадрат любого числа неотрицателен.

Ответ

Неравенство верно.