Упр.1013 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений: а) $$\begin{cases} x+y+xy=7, \\ x^2+y^2+xy=13; \end{cases}$$ б) $$\begin{cases} x^2+xy+y^2=4, \\ x+xy+y=2. \end{cases}$$
а)
$$\begin{cases} x+y+xy=7,\\ x^2+y^2+xy=13. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x+y=7-xy.$$
Во втором уравнении преобразуем:
$$x^2+y^2+xy=(x+y)^2-xy.$$
Тогда
$$(7-xy)^2-xy=13.$$
Положим $$u=xy$$. Получим:
$$(7-u)^2-u=13,$$
$$49-14u+u^2-u=13,$$
$$u^2-15u+36=0.$$
$$D=15^2-4\cdot 36=225-144=81,$$
$$u_{1,2}=\frac{15\pm 9}{2}.$$
Отсюда:
$$u_1=3,\qquad u_2=12.$$
1) Если $$xy=3$$, то $$y=\frac{3}{x}$$ и
$$x+\frac{3}{x}=7-3=4,$$
$$x^2-4x+3=0,$$
$$(x-1)(x-3)=0.$$
Значит,
$$(x,y)=(1,3),\ (3,1).$$
2) Если $$xy=12$$, то $$y=\frac{12}{x}$$ и
$$x+\frac{12}{x}=7-12=-5,$$
$$x^2+5x+12=0.$$
$$D=5^2-4\cdot 12=25-48=-23<0,$$
действительных решений нет.
б)
$$\begin{cases} x^2+xy+y^2=4,\\ x+xy+y=2. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x+y=2-xy.$$
Первое уравнение перепишем так:
$$x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy.$$
Тогда
$$(2-xy)^2-xy=4.$$
Положим $$u=xy$$. Получим:
$$(2-u)^2-u=4,$$
$$4-4u+u^2-u=4,$$
$$u^2-5u=0,$$
$$u(u-5)=0.$$
Рассмотрим оба случая.
1) Если $$xy=0$$, то:
- при $$x=0$$ из $$x+xy+y=2$$ получаем $$y=2$$;
- при $$y=0$$ из $$x+xy+y=2$$ получаем $$x=2$$.
Значит,
$$(x,y)=(0,2),\ (2,0).$$
2) Если $$xy=5$$, то $$y=\frac{5}{x}$$ и
$$x+\frac{5}{x}=2-5=-3,$$
$$x^2+3x+5=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 5=9-20=-11<0,$$
действительных решений нет.
Ответ
а) $$(1,3),\ (3,1)$$; б) $$(2,0),\ (0,2)$$.
