Упр.1012 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   а) $$\begin{cases}x+xy+y=11,\\x-xy+y=1;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}x^3-y^3=8(x-y),\\x^2+y^2=8.\end{cases}$$

а) Сложим уравнения системы:

$$(x+xy+y)+(x-xy+y)=11+1$$

$$2x+2y=12$$

$$x+y=6$$

Тогда $$y=6-x$$. Подставим во второе уравнение:

$$x-xy+y=1$$

$$x-x(6-x)+(6-x)=1$$

$$x-6x+x^2+6-x=1$$

$$x^2-6x+5=0$$

$$(x-1)(x-5)=0$$

$$x=1 \text{ или } x=5$$

Если $$x=1$$, то $$y=6-1=5$$. Если $$x=5$$, то $$y=6-5=1$$.

Следовательно, решения системы: $$(1;5)$$ и $$(5;1)$$.

б) Разложим разность кубов:

$$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$$

Тогда первое уравнение системы можно записать так:

$$(x-y)(x^2+xy+y^2)=8(x-y)$$

$$(x-y)(x^2+xy+y^2-8)=0$$

Но по второму уравнению $$x^2+y^2=8$$, значит

$$x^2+xy+y^2-8=xy$$

поэтому

$$(x-y)xy=0$$

Отсюда возможны случаи:

1. $$x=y$$. Тогда из $$x^2+y^2=8$$ получаем

   $$2x^2=8,\quad x^2=4,\quad x=\pm 2$$

   Значит, $$(-2;-2)$$ и $$(2;2)$$.

2. $$x=0$$. Тогда

   $$y^2=8,\quad y=\pm 2\sqrt2$$

   Получаем $$(0;-2\sqrt2)$$ и $$(0;2\sqrt2)$$.

3. $$y=0$$. Тогда

   $$x^2=8,\quad x=\pm 2\sqrt2$$

   Получаем $$(-2\sqrt2;0)$$ и $$(2\sqrt2;0)$$.

Ответ

а) $$(1;5),\ (5;1)$$;

б) $$(-2;-2),\ (2;2),\ (0;-2\sqrt2),\ (0;2\sqrt2),\ (-2\sqrt2;0),\ (2\sqrt2;0)$$.