Упр.1009 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений:

а) $$\begin{cases}xy(x+y)=6,\\x^3+y^3=9;\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}x+y=2,\\x^2+y^2-2=0.\end{cases}$$

а)

Из второго уравнения:
$$x^3+y^3=9$$
используем формулу суммы кубов:
$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2).$$
Тогда
$$(x+y)(x^2-xy+y^2)=9.$$
Так как
$$x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy,$$
получаем
$$(x+y)\bigl((x+y)^2-3xy\bigr)=9.$$
Из первого уравнения
$$xy(x+y)=6.$$
Обозначим $$s=x+y$$, $$p=xy$$. Тогда система принимает вид:
$$\begin{cases} sp=6,\\ s(s^2-3p)=9. \end{cases}$$
Подставим $$p=\dfrac{6}{s}$$ во второе уравнение:
$$s\left(s^2-3\cdot \frac{6}{s}\right)=9,$$
$$s^3-18=9,$$
$$s^3=27,$$
$$s=3.$$
Тогда
$$p=\frac{6}{3}=2.$$
Следовательно, числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$t^2-st+p=0,$$
то есть
$$t^2-3t+2=0.$$
$$(t-1)(t-2)=0.$$
Отсюда
$$t=1 \text{ или } t=2.$$
Значит,
$$(x,y)=(1,2) \text{ или } (2,1).$$

б)

Из первого уравнения:
$$x+y=2,$$
$$y=2-x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^2+y^2-2=0,$$
$$x^2+(2-x)^2-2=0.$$
Раскроем скобки:
$$x^2+4-4x+x^2-2=0,$$
$$2x^2-4x+2=0,$$
$$x^2-2x+1=0,$$
$$(x-1)^2=0.$$
Отсюда
$$x=1,$$
тогда
$$y=2-1=1.$$

Ответ

а) $$(1,2),\ (2,1)$$; б) $$(1,1)$$.