Упр.1006 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
- Решите уравнение: а) $$\sqrt{3x+1}=\sqrt{4x+1}$$; б) $$\sqrt{2x+1}=3x+1$$; в) $$\sqrt{\frac{x+2}{2}}=x+1$$; г) $$\sqrt{\frac{x+1}{3}}=x-1$$; д) $$x-5\sqrt{x}-6=0$$; е) $$x-6\sqrt{x}-7=0$$.
а) $$\sqrt{3x+1}=\sqrt{4x+1}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$3x+1=4x+1$$
$$x=0$$
Проверка области определения: $$3x+1\ge 0$$ и $$4x+1\ge 0$$. При $$x=0$$ условия выполняются.
Значит, $$x=0$$.
б) $$\sqrt{2x+1}=3x+1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2x+1=(3x+1)^2$$
$$2x+1=9x^2+6x+1$$
$$9x^2+4x=0$$
$$x(9x+4)=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-\frac49$$
Проверим:
при $$x=0$$: $$\sqrt{1}=1$$, $$3\cdot 0+1=1$$;
при $$x=-\frac49$$: $$\sqrt{\frac19}=\frac13$$, $$3\cdot\left(-\frac49\right)+1=-\frac13$$, не подходит.
Значит, $$x=0$$.
в) $$\sqrt{\frac{x+2}{2}}=x+1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\frac{x+2}{2}=(x+1)^2$$
$$x+2=2x^2+4x+2$$
$$2x^2+3x=0$$
$$x(2x+3)=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-\frac32$$
Проверка: правая часть должна быть неотрицательной, значит $$x+1\ge 0$$, то есть $$x\ge -1$$. Число $$-\frac32$$ не подходит.
При $$x=0$$ получаем верное равенство.
Значит, $$x=0$$.
г) $$\sqrt{\frac{x+1}{3}}=x-1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\frac{x+1}{3}=(x-1)^2$$
$$x+1=3x^2-6x+3$$
$$3x^2-7x+2=0$$
$$D=49-24=25$$
$$x=\frac{7\pm 5}{6}$$
$$x_1=\frac13,\quad x_2=2$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$x-1\ge 0$$, значит $$x\ge 1$$. Подходит только $$x=2$$.
д) $$x-5\sqrt{x}-6=0$$
Пусть $$y=\sqrt{x}$$, тогда $$x=y^2$$. Получаем:
$$y^2-5y-6=0$$
$$(y-6)(y+1)=0$$
$$y=6 \quad \text{или} \quad y=-1$$
Так как $$y=\sqrt{x}\ge 0$$, берём только $$y=6$$.
Тогда $$\sqrt{x}=6$$, откуда $$x=36$$.
е) $$x-6\sqrt{x}-7=0$$
Пусть $$y=\sqrt{x}$$, тогда $$x=y^2$$. Получаем:
$$y^2-6y-7=0$$
$$(y-7)(y+1)=0$$
$$y=7 \quad \text{или} \quad y=-1$$
Так как $$y=\sqrt{x}\ge 0$$, берём только $$y=7$$.
Тогда $$\sqrt{x}=7$$, откуда $$x=49$$.
Ответ
а) $$0$$; б) $$0$$; в) $$0$$; г) $$2$$; д) $$36$$; е) $$49$$.
