Упр.18 Задания на исследование ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Если $$n!! < n!!!$$ и $$n$$ — натуральное число, $$n > 4$$, то $$n$$ — нечётное число.

Допустим, что $$n$$ — чётное число. Тогда

$$\frac{n}{n-1}\cdot \frac{n-2}{n-3}\cdot \frac{n-4}{n-5}\cdot \ldots \cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{2}{1} > 1.$$

Перемножим числители и знаменатели:

$$\frac{n(n-2)(n-4)\cdot \ldots \cdot 4\cdot 2}{(n-1)(n-3)(n-5)\cdot \ldots \cdot 3\cdot 1} > 1.$$

Отсюда

$$n(n-2)(n-4)\cdot \ldots \cdot 4\cdot 2 > (n-1)(n-3)(n-5)\cdot \ldots \cdot 3\cdot 1.$$

Но левая часть — это $$n!!$$, а правая — $$n!!!$$. Значит, при чётном $$n$$ получаем $$n!! > n!!!$$, что противоречит условию $$n!! < n!!!$$.

Следовательно, $$n$$ не может быть чётным, то есть $$n$$ — нечётное число.

Ответ

$$n$$ — нечётное число.