Упр.4.40 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
- При каких значениях параметра $$р$$ неравенство $$(р-2)x^2-(р-4)x+(3р-2)>0$$:
а) не имеет решений;
б) выполняется при любых значениях $$x$$?
Рассмотрим квадратное неравенство
$$(p-2)x^2-(p-4)x+(3p-2)>0.$$
а) Неравенство не имеет решений.
Чтобы квадратный трехчлен был всегда неположительным, нужно, чтобы:
$$p-2<0, \qquad D\le 0,$$
где
$$D=(p-4)^2-4(p-2)(3p-2).$$
Вычислим дискриминант:
$$D=p^2-8p+16-12p^2+32p-16=-11p^2+24p.$$
Тогда
$$p<2, \qquad -11p^2+24p\le 0,$$
$$p<2, \qquad p(24-11p)\le 0.$$
Из неравенства $$p(24-11p)\le 0$$ получаем
$$p\le 0 \quad \text{или} \quad p\ge \frac{24}{11}.$$
С учетом условия $$p<2$$ остается
$$p\le 0.$$
Проверим случай, когда старший коэффициент равен нулю:
$$p-2=0 \Rightarrow p=2,$$
но тогда условие $$p-2<0$$ не выполняется, значит решений нет.
б) Неравенство выполняется при любых значениях $$x$$.
Для этого квадратный трехчлен должен быть всегда положительным, то есть
$$p-2>0, \qquad D<0.$$
Имеем
$$p>2, \qquad -11p^2+24p<0,$$
$$p>2, \qquad p(24-11p)<0.$$
Из неравенства $$p(24-11p)<0$$ получаем
$$p<0 \quad \text{или} \quad p>\frac{24}{11}.$$
С учетом условия $$p>2$$ остается
$$p>\frac{24}{11}.$$
При $$p=2$$ получаем линейное выражение, но оно не может быть положительным при всех $$x$$, поэтому этот случай не подходит.
Ответ
а) $$p\le 0$$; б) $$p>\frac{24}{11}$$.
