Итоговое повторение Упр.170 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
- а) Постройте график функции $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\frac{x^3+x^2-2x}{x-1}$$, и найдите, при каких значениях $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет один корень.
б) Постройте график функции $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\frac{x^3+3x^2-x-3}{x+3}$$, и найдите, при каких значениях $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет один корень.
а) Упростим функцию:
$$f(x)=\frac{x^3+x^2-2x}{x-1}=\frac{x(x^2+x-2)}{x-1}=\frac{x(x+2)(x-1)}{x-1}=x(x+2)=x^2+2x,\quad x\ne 1.$$
Значит, график — парабола $$y=x^2+2x=(x+1)^2-1$$ с выколотой точкой при $$x=1$$, то есть точкой $$\left(1,3\right)$$.
Решаем уравнение $$f(x)=p$$:
$$x^2+2x=p$$
$$x^2+2x-p=0.$$
Чтобы уравнение имело ровно один корень, нужно:
- либо дискриминант равен нулю;
- либо один из корней квадратного уравнения совпадает с запрещённым значением $$x=1$$, а второй корень отсутствует.
1) $$D=4+4p=4(p+1)=0 \Rightarrow p=-1.$$ Тогда получаем один двукратный корень $$x=-1$$.
2) Проверим случай $$x=1$$:
$$1^2+2\cdot 1=p \Rightarrow p=3.$$
При $$p=3$$ уравнение имеет корни $$x=1$$ и $$x=-3$$, но $$x=1$$ не подходит, значит остаётся один корень.
б) Упростим функцию:
$$f(x)=\frac{x^3+3x^2-x-3}{x+3} =\frac{x^2(x+3)-1(x+3)}{x+3} =\frac{(x^2-1)(x+3)}{x+3} =x^2-1,\quad x\ne -3.$$
График — парабола $$y=x^2-1$$ с выколотой точкой $$(-3,8)$$.
Решаем уравнение $$f(x)=p$$:
$$x^2-1=p$$
$$x^2=p+1.$$
Ровно один корень будет в двух случаях:
- если $$p+1=0$$, то есть $$p=-1$$;
- если один из корней равен запрещённому значению $$x=-3$$, то $$(-3)^2-1=p$$, откуда $$p=8$$. Тогда второй корень $$x=3$$ остаётся, а $$x=-3$$ не подходит.
Ответ: а) $$p=-1,\ p=3$$; б) $$p=-1,\ p=8$$.
