Упр.3.20 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Даны три числовых промежутка: $$A=(7{,}7;11)$$, $$B=[\sqrt{97};\sqrt{167}]$$, $$C=(\sqrt{101};13]$$. Найдите множества:

а) $$(A\cap B)\cap C$$;

б) $$(A\cap B)\cup C$$;

в) $$(A\cup B)\cap C$$;

г) $$(A\cup B)\cup C$$.

Сравним границы промежутков:

$$\sqrt{97}\approx 9{,}85,\quad \sqrt{101}\approx 10{,}05,\quad \sqrt{167}\approx 12{,}92.$$

Тогда

$$A=(7{,}7;11),\quad B=[\sqrt{97};\sqrt{167}],\quad C=(\sqrt{101};13].$$

Найдём пересечения и объединения.

1. $$A\cap B=[\sqrt{97};11)$$

   так как общий участок начинается с $$\sqrt{97}$$ и заканчивается числом $$11$$, причём $$11$$ не входит в $$A$$.

2. $$\left(A\cap B\right)\cap C=(\sqrt{101};11)$$

   поскольку в $$C$$ левая граница $$\sqrt{101}$$ не входит, а правая граница $$11$$ входит в оба множества, но в пересечение берётся открытая граница из $$A\cap B$$.

3. $$\left(A\cap B\right)\cup C=[\sqrt{97};13]$$

   множества $$[\sqrt{97};11)$$ и $$(\sqrt{101};13]$$ перекрываются, поэтому их объединение даёт один промежуток от $$\sqrt{97}$$ до $$13$$.

4. $$A\cup B=(7{,}7;\sqrt{167}]$$

   так как $$A$$ и $$B$$ перекрываются, а правая граница берётся из $$B$$.

5. $$\left(A\cup B\right)\cap C=(\sqrt{101};\sqrt{167}]$$

   это общий участок промежутков $$(7{,}7;\sqrt{167}]$$ и $$(\sqrt{101};13]$$.

6. $$\left(A\cup B\right)\cup C=(7{,}7;13]$$

   объединение всех трёх промежутков даёт один промежуток от $$7{,}7$$ до $$13$$.

Ответ

а) $$\left(A\cap B\right)\cap C=(\sqrt{101};11)$$;
б) $$\left(A\cap B\right)\cup C=[\sqrt{97};13]$$;
в) $$\left(A\cup B\right)\cap C=(\sqrt{101};\sqrt{167}]$$;
г) $$\left(A\cup B\right)\cup C=(7{,}7;13]$$.