Упр.20.16 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. В уравнение окружности $$x^2+y^2=R^2$$ в качестве радиуса $$R$$ подставляют натуральное число от 1 до 20. Найдите вероятность того, что:
   а) точка $$(1; 0)$$ будет лежать на этой окружности;
   б) точка $$(0; -1)$$ будет принадлежать кругу, который ограничен этой окружностью;
   в) точка $$(1; 3)$$ не будет принадлежать кругу, который ограничен этой окружностью;
   г) эта окружность не будет пересекать прямую $$y=\sqrt{123}$$.

Радиус окружности выбирают случайно из натуральных чисел от $$1$$ до $$20$$, значит всего вариантов $$20$$.

а) Точка $$(1;0)$$ лежит на окружности, если

$$1^2+0^2=R^2,$$

то есть $$R=1$$. Подходит один вариант из $$20$$.

$$P=\frac{1}{20}=0{,}05.$$

б) Точка $$(0;-1)$$ принадлежит кругу, если

$$0^2+(-1)^2\le R^2,$$

то есть $$1\le R^2$$, значит $$R\ge 1$$. Подходят все $$20$$ вариантов.

$$P=\frac{20}{20}=1.$$

в) Точка $$(1;3)$$ не принадлежит кругу, если

$$1^2+3^2>R^2,$$

то есть

$$10>R^2,$$

значит $$R<\sqrt{10}.$$ Среди натуральных чисел от $$1$$ до $$20$$ подходят $$1,2,3$$ — всего $$3$$ варианта.

$$P=\frac{3}{20}=0{,}15.$$

г) Окружность не пересекает прямую $$y=\sqrt{123}$$, если расстояние от центра $$O(0;0)$$ до этой прямой больше радиуса:

$$R<\sqrt{123}.$$

Так как $$\sqrt{123}\approx 11{,}09,$$ подходят радиусы $$1,2,\dots,11$$ — всего $$11$$ вариантов.

$$P=\frac{11}{20}=0{,}55.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{20}$$; б) $$1$$; в) $$\frac{3}{20}$$; г) $$\frac{11}{20}$$.