Упр.20.12 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. В прямоугольнике ABCD отметили середины K и L сторон CD и AD соответственно, а также точки M и N на сторонах AB и BC так, что $$AM:MB=1:3$$ и $$BN:NC=1:2$$. В прямоугольнике случайно отметили точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется: а) в треугольнике KCN; б) в треугольнике MBN; в) вне треугольника AMC; г) в четырёхугольнике MNKL?

Пусть $$AB=CD=a$$ и $$BC=AD=b$$. Тогда площадь прямоугольника равна $$S_{ABCD}=ab$$.

а) Для треугольника $$KCN$$:

$$S_{KCN}=\frac12 \cdot CK \cdot CN =\frac12 \cdot \frac12 a \cdot \frac23 b =\frac{ab}{6}.$$

$$P(KCN)=\frac{S_{KCN}}{S_{ABCD}}=\frac{ab/6}{ab}=\frac16.$$

б) Для треугольника $$MBN$$:

$$S_{MBN}=\frac12 \cdot MB \cdot BN =\frac12 \cdot \frac34 a \cdot \frac13 b =\frac{ab}{8}.$$

$$P(MBN)=\frac{S_{MBN}}{S_{ABCD}}=\frac{ab/8}{ab}=\frac18.$$

в) Площадь треугольника $$AMC$$:

$$S_{AMC}=S_{ABCM}+S_{ACD} =\frac12 \cdot \frac34 a \cdot b+\frac12 ab =\frac{3}{8}ab+\frac12 ab =\frac78 ab.$$

Тогда вероятность попасть вне треугольника $$AMC$$ равна:

$$P(\text{вне } AMC)=1-\frac{S_{AMC}}{S_{ABCD}} =1-\frac78=\frac18.$$

г) Площадь четырёхугольника $$MNKL$$ найдём как площадь прямоугольника без четырёх угловых треугольников:

$$S_{MNKL}=S_{ABCD}-S_{MBN}-S_{NCK}-S_{KOL}-S_{MAL}.$$

$$S_{MNKL} =ab-\frac{ab}{8}-\frac{ab}{12}-\frac{ab}{8}-\frac{ab}{16} =\frac{25}{48}ab.$$

$$P(MNKL)=\frac{S_{MNKL}}{S_{ABCD}}=\frac{25}{48}.$$

Ответ

а) $$\frac16$$; б) $$\frac18$$; в) $$\frac18$$; г) $$\frac{25}{48}$$.