Упр.16.59 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
- а) Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7 и не делятся на 13. б) Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые не делятся ни на 7, ни на 13.
а) Найдём сумму всех трёхзначных чисел, кратных $$7$$.
Это арифметическая прогрессия:
$$105,\ 112,\ 119,\ \dots,\ 994$$
Первый член: $$a_1=105,$$ последний: $$a_{128}=994.$$
Число членов:
$$n=\frac{994-105}{7}+1=128.$$
Тогда
$$S_1=\frac{105+994}{2}\cdot 128=70336.$$
Найдём сумму трёхзначных чисел, кратных и $$7$$, и $$13$$, то есть кратных $$91$$.
Это прогрессия:
$$182,\ 273,\ 364,\ \dots,\ 910$$
Первый член: $$a_1=182,$$ последний: $$a_{10}=910.$$
Число членов:
$$n=\frac{910-182}{91}+1=9.$$
Тогда
$$S_2=\frac{182+910}{2}\cdot 9=4914.$$
Искомая сумма:
$$S=S_1-S_2=70336-4914=65422.$$
б) Найдём сумму всех трёхзначных чисел, не делящихся ни на $$7$$, ни на $$13$$.
Сначала найдём сумму всех трёхзначных чисел:
$$100,\ 101,\ \dots,\ 999$$
Это арифметическая прогрессия, поэтому
$$S_4=\frac{100+999}{2}\cdot 900=494550.$$
Сумма трёхзначных чисел, кратных $$13$$:
$$104,\ 117,\ 130,\ \dots,\ 988$$
Первый член: $$a_1=104,$$ последний: $$a_{68}=988.$$
Число членов:
$$n=\frac{988-104}{13}+1=69.$$
Тогда
$$S_2=\frac{104+988}{2}\cdot 69=37674.$$
Сумма чисел, кратных и $$7$$, и $$13$$, уже найдена:
$$S_3=4914.$$
По формуле включений и исключений:
$$S=S_4-S_1-S_2+S_3$$
$$S=494550-70336-37674+4914=391454.$$
Ответ
а) $$65422$$; б) $$391454$$.
