Упр.12.20 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
а) система $$\begin{cases} y=x^4,\\ y=4-x^2 \end{cases}$$; б) система $$\begin{cases} y=x^5,\\ y=-2+0{,}5x^2 \end{cases}$$; в) система $$\begin{cases} y=x^6,\\ y=-2-3x^2 \end{cases}$$; г) система $$\begin{cases} y=x^3,\\ y=x^2-6 \end{cases}$$.
Чему равно $$n$$, если известно, что график степенной функции $$y=x^n$$ проходит через заданную точку: а) $$(2; 256)$$; б) $$(-2; -128)$$; в) $$(3; 243)$$; г) $$(-4; 256)$$?
а) Для системы
$$\begin{cases} y=x^4,\\ y=4-x^2 \end{cases}$$
найдём точки пересечения:
$$x^4=4-x^2$$
$$x^4+x^2-4=0$$
Обозначим $$t=x^2$$, тогда
$$t^2+t-4=0$$
Это уравнение имеет один положительный корень, значит система имеет две точки пересечения, соответствующие $$x=\pm\sqrt{t}$$.
Ответ: 2 решения.
б) Для системы
$$\begin{cases} y=x^5,\\ y=-2+0{,}5x^2 \end{cases}$$
приравняем правые части:
$$x^5=-2+0{,}5x^2$$
Графики пересекаются в одной точке.
Ответ: 1 решение.
в) Для системы
$$\begin{cases} y=x^6,\\ y=-2-3x^2 \end{cases}$$
первая функция принимает только неотрицательные значения, а вторая — только отрицательные. Значит, пересечений нет.
Ответ: 0 решений.
г) Для системы
$$\begin{cases} y=x^3,\\ y=x^2-6 \end{cases}$$
приравняем:
$$x^3=x^2-6$$
$$x^3-x^2+6=0$$
Проверкой находим корень $$x=-2$$:
$$(-2)^3-(-2)^2+6=-8-4+6=-6\neq 0$$
Значит, нужно искать пересечение графиков по рисунку: оно одно.
Ответ: 1 решение.
а) $$y=x^n$$ проходит через точку $$(2;256)$$, значит
$$256=2^n$$
$$2^8=2^n$$
откуда $$n=8$$.
б) $$y=x^n$$ проходит через точку $$(-2;-128)$$, значит
$$-128=(-2)^n$$
Так как результат отрицательный, показатель нечётный. Получаем
$$2^7=128$$
следовательно, $$n=7$$.
в) $$y=x^n$$ проходит через точку $$(3;243)$$, значит
$$243=3^n$$
$$3^5=3^n$$
откуда $$n=5$$.
г) $$y=x^n$$ проходит через точку $$(-4;256)$$, значит
$$256=(-4)^n$$
Так как число положительное, показатель должен быть чётным. Получаем
$$(-4)^4=256$$
следовательно, $$n=4$$.
Ответ
а) 2; б) 1; в) 0; г) 1; а) 8; б) 7; в) 5; г) 4.
