Упр.8.36 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}x+1, & -3\leqslant x\leqslant 0;\\x^2-4x+1, & 02.\end{cases}$$
   а) Укажите $$D(f)$$;
   б) вычислите: $$f(-5),\ f(-2),\ f(0),\ f(2),\ f(4)$$;
   в) постройте график функции;
   г) найдите $$E(f)$$.

Функция задана по частям:

$$f(x)= \begin{cases} x+1, & -3\le x\le 0,\\ x^2-4x+1, & 0<x\le 2,\\ \dfrac{2}{x}, & x>2. \end{cases}$$

а) Область определения — объединение всех промежутков, на которых задана функция:

$$D(f)=[-3;0]\cup(0;2]\cup(2;+\infty)=[-3;+\infty).$$

б) Найдём значения функции:

$$f(-5)\ \text{не существует, так как}\ -5\notin D(f).$$

$$f(-2)=-2+1=-1,$$

$$f(0)=0+1=1,$$

$$f(2)=2^2-4\cdot 2+1=4-8+1=-3,$$

$$f(4)=\dfrac{2}{4}=\dfrac12.$$

в) Построим график по частям:

• на отрезке $$[-3;0]$$ — отрезок прямой $$y=x+1$$;
• на промежутке $$0<x\le 2$$ — часть параболы $$y=x^2-4x+1$$;
• при $$x>2$$ — ветвь гиперболы $$y=\dfrac{2}{x}$$.

Ключевые точки для построения:

$$(-3,-2),\ (0,1),\ (1,-2),\ (2,-3),\ (4,\tfrac12).$$

г) Найдём область значений. Для первой части:

$$y=x+1,\quad x\in[-3;0]\Rightarrow y\in[-2;1].$$

Для второй части:

$$y=x^2-4x+1=(x-2)^2-3,\quad x\in(0;2]\Rightarrow y\in[-3;1).$$

Для третьей части:

$$y=\dfrac{2}{x},\quad x>2\Rightarrow 0<y<1.$$

Объединяя полученные промежутки, получаем:

$$E(f)=[-3;1].$$

Ответ

$$D(f)=[-3;+\infty),\quad f(-5)\ \text{не существует},\quad f(-2)=-1,\quad f(0)=1,\quad f(2)=-3,\quad f(4)=\dfrac12,\quad E(f)=[-3;1].$$