Упр.7.4 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Разность двух натуральных чисел равна $$16$$, а произведение на $$553$$ меньше суммы их квадратов. Найдите эти числа.
2. Сумма двух чисел равна $$12$$, а их произведение равно $$35$$. Найдите эти числа.

Обозначим искомые числа через $$a$$ и $$b$$.

1) По условию:

$$\begin{cases} a-b=16,\\ ab+553=a^2+b^2. \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $$a$$:

$$a=16+b.$$

Подставим во второе уравнение:

$$b(16+b)+553=(16+b)^2+b^2.$$

Раскроем скобки и упростим:

$$16b+b^2+553=256+32b+b^2+b^2,$$

$$b^2+16b-297=0.$$

Найдём корни:

$$D=16^2-4\cdot 1\cdot(-297)=256+1188=1444,$$

$$\sqrt{D}=38.$$

$$b=\frac{-16\pm 38}{2}.$$

Получаем:

$$b_1=-27,\quad b_2=11.$$

Так как числа натуральные, подходит только $$b=11$$. Тогда

$$a=16+11=27.$$

Значит, искомые числа: $$27$$ и $$11$$.

2) По условию:

$$\begin{cases} a+b=12,\\ ab=35. \end{cases}$$

Выразим $$a$$:

$$a=12-b.$$

Подставим во второе уравнение:

$$b(12-b)=35.$$

$$b^2-12b+35=0.$$

Разложим на множители:

$$(b-5)(b-7)=0.$$

Отсюда $$b=5$$ или $$b=7$$. Тогда соответственно $$a=7$$ или $$a=5$$.

Искомые числа: $$5$$ и $$7$$.

Ответ

1) $$27$$ и $$11$$; 2) $$5$$ и $$7$$.