Упр.7.42 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер прошёл 96 км, затем повернул обратно и вернулся в А через 14 ч. Известно, что скорость катера по течению в $$1\frac{1}{3}$$ раза больше скорости катера против течения. На каком расстоянии от А катер встретил плот на обратном пути?

Подробный ответ

Обозначим через $$v_k$$ скорость катера в стоячей воде, а через $$v_t$$ скорость течения.

Тогда скорость катера по течению равна $$v_k+v_t$$, а против течения — $$v_k-v_t$$.

По условию катер прошёл $$96$$ км по течению и затем столько же против течения за $$14$$ ч, а скорость по течению в $$1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$$ раза больше скорости против течения. Составим систему:

$$\frac{96}{v_k+v_t}+\frac{96}{v_k-v_t}=14,$$
$$v_k+v_t=\frac{4}{3}(v_k-v_t).$$

Из второго уравнения:

$$3(v_k+v_t)=4(v_k-v_t),$$
$$3v_k+3v_t=4v_k-4v_t,$$
$$v_k=7v_t.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\frac{96}{7v_t+v_t}+\frac{96}{7v_t-v_t}=14,$$
$$\frac{96}{8v_t}+\frac{96}{6v_t}=14,$$
$$\frac{12}{v_t}+\frac{16}{v_t}=14,$$
$$\frac{28}{v_t}=14,$$
$$v_t=2.$$

Тогда $$v_k=7\cdot 2=14$$ км/ч.

Скорость плота равна скорости течения, то есть $$2$$ км/ч.

Найдём, через сколько часов катер повернул обратно:

$$t_1=\frac{96}{v_k+v_t}=\frac{96}{14+2}=6.$$

За это время плот прошёл:

$$S_1=2\cdot 6=12 \text{ км}.$$

Значит, расстояние между катером и плотом в момент поворота катера равно:

$$96-12=84 \text{ км}.$$

После поворота катер и плот сближаются со скоростью:

$$v_k-v_t+v_t=14 \text{ км/ч}.$$

Время до встречи после поворота:

$$t_2=\frac{84}{14}=6.$$