Упр.7.3 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2019 года. Разность двух натуральных чисел равна $$24$$, а их произведение равно $$481$$. Найдите эти числа.
2. Задание учебника 2010 года. Моторная лодка против течения реки проплыла $$10\ \text{км}$$, а по течению $$9\ \text{км}$$, при этом по течению она шла $$45\ \text{мин}$$, а против течения — $$1\ \text{ч}\ 15\ \text{мин}$$. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

1. Пусть $$a$$ и $$b$$ — искомые натуральные числа, причём $$a>b$$. Тогда

   $$\begin{cases} a-b=24,\\ ab=481. \end{cases}$$

   Из первого уравнения получаем $$a=24+b$$. Подставим во второе:

   $$b(24+b)=481$$

   $$b^2+24b-481=0.$$

   Найдём корни уравнения:

   $$D=24^2+4\cdot 481=576+1924=2500,$$

   $$b=\frac{-24\pm 50}{2}.$$

   Получаем $$b_1=-37$$, $$b_2=13$$. Так как числа натуральные, то $$b=13$$.

   Тогда

   $$a=24+13=37.$$

2. Пусть $$v_л$$ — собственная скорость лодки, $$v_т$$ — скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению равна $$v_л+v_т$$, а против течения — $$v_л-v_т$$.

   Переведём время в часы:

   $$45\text{ мин}=\frac{3}{4}\text{ ч}, \qquad 1\text{ ч }15\text{ мин}=\frac{5}{4}\text{ ч}.$$

   Составим систему:

   $$\begin{cases} \dfrac{9}{v_л+v_т}=\dfrac{3}{4},\\[6pt] \dfrac{10}{v_л-v_т}=\dfrac{5}{4}. \end{cases}$$

   Решим её:

   $$\begin{cases} 36=3v_л+3v_т,\\ 40=5v_л-5v_т. \end{cases}$$

   Упростим:

   $$\begin{cases} 12=v_л+v_т,\\ 8=v_л-v_т. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$2v_л=20,\qquad v_л=10.$$

   Тогда

   $$v_т=12-10=2.$$

Ответ

1) $$37$$ и $$13$$. 2) $$10$$ км/ч и $$2$$ км/ч.