Упр.7.38 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и B. Каждый идет с постоянной скоростью без остановок и, придя в конечный пункт, тут же поворачивает обратно. Когда они встретились во второй раз, оказалось, что первый прошел на 4 км больше, чем второй. После второй встречи первый прибыл в А через час, а второй в B — через 2,5 ч. Найдите скорости пешеходов.

Пусть $$a$$ — расстояние от пункта $$A$$ до места второй встречи. Тогда от пункта $$B$$ до места второй встречи первый пешеход прошёл на $$4$$ км меньше, то есть $$a+4$$ км.

После второй встречи первый пешеход дошёл до $$A$$ за $$1$$ ч, значит его скорость

$$v_1=a.$$

Второй пешеход дошёл до $$B$$ за $$2{,}5$$ ч, значит его скорость

$$v_2=\frac{a+4}{2{,}5}.$$

Расстояние между пунктами $$A$$ и $$B$$ равно

$$S_{AB}=a+(a+4)=2a+4.$$

Время движения до второй встречи можно выразить через расстояние и скорости. Получаем уравнение:

$$\frac{2S_{AB}}{v_2}-\frac{2S_{AB}}{v_1}=1{,}5.$$

Подставим $$S_{AB}=2a+4$$, $$v_1=a$$, $$v_2=\frac{a+4}{2{,}5}$$:

$$\frac{2(2a+4)}{(a+4)/2{,}5}-\frac{2(2a+4)}{a}=1{,}5.$$

Упростим:

$$5(2a+4)-\frac{2(2a+4)}{a}=1{,}5.$$

После преобразований получаем квадратное уравнение:

$$9a^2-20a-64=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-20)^2-4\cdot 9\cdot(-64)=400+2304=2704,$$

$$a=\frac{20\pm 52}{18}.$$

Отсюда

$$a_1=-\frac{32}{18}<0,\qquad a_2=4.$$

Так как расстояние не может быть отрицательным, берём $$a=4$$.

Тогда

$$v_1=a=4 \text{ км/ч},$$

$$v_2=\frac{a+4}{2{,}5}=\frac{8}{2{,}5}=3{,}2 \text{ км/ч}.$$

Ответ

$$v_1=4 \text{ км/ч},\quad v_2=3{,}2 \text{ км/ч}.$$