Дополнительная задача 4 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Для последовательности $$x_n=\left(n^{-1}-v\left(n^{-1}+n^{-2}\right)\right)^{-1}$$ найдите: а) $$x_3$$; б) $$x_8$$; в) $$x_{15}$$; г) $$n$$, если $$x_n=-6$$; д) $$n$$, если $$x_n=-9$$; е) номер члена последовательности, который удалён от числа $$-3,5$$ на наименьшее расстояние.
- Для чисел сочетаний проверьте равенства и указанные для них места в треугольнике Паскаля: а) $$C(1;4)=4$$ — четвёртая строка, место № $$1$$; б) $$C(2;3)=3$$ — третья строка, место № $$2$$; в) $$C(2;5)=10$$ — пятая строка, место № $$2$$; г) $$C(5;5)=1$$ — пятая строка, место № $$5$$; д) $$C(3;6)=20$$ — шестая строка, место № $$3$$; е) $$C(4;6)=15$$ — шестая строка, место № $$4$$.
Преобразуем общий член последовательности:
$$x_n=\left(n^{-1}-\sqrt{n^{-1}+n^{-2}}\right)^{-1}$$
$$x_n=\left(\frac{1}{n}-\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}\right)^{-1} =\left(\frac{1}{n}-\sqrt{\frac{n+1}{n^2}}\right)^{-1} =\left(\frac{1}{n}-\frac{\sqrt{n+1}}{n}\right)^{-1} =\left(\frac{1-\sqrt{n+1}}{n}\right)^{-1} =\frac{n}{1-\sqrt{n+1}}.$$
а)
$$x_3=\frac{3}{1-\sqrt{4}}=\frac{3}{1-2}=-3.$$
б)
$$x_8=\frac{8}{1-\sqrt{9}}=\frac{8}{1-3}=-4.$$
в)
$$x_{15}=\frac{15}{1-\sqrt{16}}=\frac{15}{1-4}=-5.$$
г)
$$\frac{n}{1-\sqrt{n+1}}=-6$$
$$n=6\sqrt{n+1}-6$$
$$6\sqrt{n+1}=n+6$$
$$36(n+1)=n^2+12n+36$$
$$n^2-24n=0$$
$$n(n-24)=0$$
Так как $$n$$ — номер члена последовательности, то $$n=24$$.
д)
$$\frac{n}{1-\sqrt{n+1}}=-9$$
$$n=9\sqrt{n+1}-9$$
$$9\sqrt{n+1}=n+9$$
$$81(n+1)=n^2+18n+81$$
$$n^2-63n=0$$
$$n(n-63)=0$$
Следовательно, $$n=63$$.
е)
Найдём номер члена, ближайшего к числу $$-3{,}5$$:
$$\frac{n}{1-\sqrt{n+1}}=-3{,}5$$
$$2n=7\sqrt{n+1}-7$$
$$7\sqrt{n+1}=2n+7$$
$$49(n+1)=4n^2+28n+49$$
$$4n^2-21n=0$$
$$n(4n-21)=0$$
Отсюда $$n=5{,}25$$. Ближайший номер члена последовательности — $$5$$.
Проверим равенства для чисел сочетаний:
а) $$C_4^1=4$$ — верно;
б) $$C_3^2=\frac{3!}{2!\,1!}=3$$ — верно;
в) $$C_5^2=\frac{5!}{2!\,3!}=10$$ — верно;
г) $$C_5^5=1$$ — верно;
д) $$C_6^3=\frac{6!}{3!\,3!}=20$$ — верно;
е) $$C_6^4=\frac{6!}{4!\,2!}=15$$ — верно.
Ответ
а) $$-3$$; б) $$-4$$; в) $$-5$$; г) $$24$$; д) $$63$$; е) $$5$$.
Все равенства для чисел сочетаний верны.
