Упр.34.16 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Дана конечная геометрическая прогрессия $$(b_n)$$. Найдите $$n$$, если:
   а) $$b_1=3,\ q=\frac{1}{3},\ b_n=\frac{1}{243}$$;
   б) $$b_1=0{,}75,\ q=-\frac{1}{5},\ b_n=3\cdot10^{-2}$$;
   в) $$b_1=512,\ q=\frac{1}{2},\ b_n=4$$;
   г) $$b_1=\frac{1}{6},\ q=\sqrt{6},\ b_n=216$$.
2. Найдите значение выражения $$\left(2-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\right):\frac{8}{x-4}$$ при $$x=2{,}56$$.

1. Используем формулу общего члена геометрической прогрессии:

   $$b_n=b_1q^{n-1}$$

   а)

   $$3\left(\frac13\right)^{n-1}=\frac1{243}$$

   $$\left(\frac13\right)^{n-1}=\frac1{729}=\left(\frac13\right)^6$$

   Значит, $$n-1=6,$$ откуда $$n=7.$$

   б)

   $$0{,}75\left(-\frac15\right)^{n-1}=3\cdot10^{-2}$$

   $$\frac34\left(-\frac15\right)^{n-1}=\frac3{100}$$

   $$\left(-\frac15\right)^{n-1}=\frac1{25}=\left(-\frac15\right)^2$$

   Следовательно, $$n-1=2,$$ значит $$n=3.$$

   в)

   $$512\left(\frac12\right)^{n-1}=4$$

   $$\left(\frac12\right)^{n-1}=\frac4{512}=\frac1{128}=\left(\frac12\right)^7$$

   Значит, $$n-1=7,$$ откуда $$n=8.$$

   г)

   $$\frac16\cdot(\sqrt6)^{\,n-1}=216$$

   $$(\sqrt6)^{\,n-1}=1296=(\sqrt6)^8$$

   Следовательно, $$n-1=8,$$ значит $$n=9.$$

2. Упростим выражение:

   $$\left(2-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\right):\frac{8}{x-4}$$

   $$2-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\frac{2(\sqrt{x}-2)-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\frac{-4}{\sqrt{x}-2}$$

   Тогда

   $$\left(2-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\right):\frac{8}{x-4} =\frac{-4}{\sqrt{x}-2}\cdot\frac{x-4}{8}$$

   Так как $$x-4=(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2),$$ получаем

   $$\frac{-4}{\sqrt{x}-2}\cdot\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{8} =-\frac{\sqrt{x}+2}{2}$$

   При $$x=2{,}56$$ имеем $$\sqrt{x}=1{,}6,$$ значит

   $$N=-\frac{1{,}6+2}{2}=-1{,}8.$$

Ответ

а) 7; б) 3; в) 8; г) 9; $$-1{,}8$$.