Упр.28.15 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Дана функция $$y=f(x)$$. Постройте график функции и, используя график, для каждого значения параметра $$p$$ укажите, сколько корней имеет уравнение $$f(x)=p$$:
а) $$f(x)=|x|\cdot x$$;
г) $$f(x)=|x|\cdot(x-1)$$;
б) $$f(x)=|x-3|\cdot(2-x)$$;
д) $$f(x)=|x-2|+x^2-x$$;
в) $$f(x)=\frac{x^2-x}{|x|}$$;
е) $$f(x)=\frac{|x|-x^2}{x}$$. - Дана конечная арифметическая прогрессия $$(a_n)$$. Найдите $$a_n$$, если:
а) $$a_1=1,\ d=-2,\ n=9$$;
в) $$a_1=1{,}5,\ d=-1{,}5,\ n=21$$;
б) $$a_1=\frac{3}{4},\ d=-\frac{1}{3},\ n=13$$;
г) $$a_1=-0{,}2,\ d=-1{,}8,\ n=7$$.
а) $$f(x)=|x|\cdot x$$
Если $$x\ge 0,$$ то $$f(x)=x^2.$$
Если $$x<0,$$ то $$f(x)=-x^2.$$График функции проходит через начало координат и при любом $$p\in \mathbb{R}$$ прямая $$y=p$$ пересекает его ровно в одной точке.
Значит, уравнение $$f(x)=p$$ имеет один корень при любом $$p\in \mathbb{R}.$$
б) $$f(x)=|x-3|\cdot(2-x)$$
Если $$x\ge 3,$$ то
$$f(x)=(x-3)(2-x)=5x-x^2-6.$$
Если $$x<3,$$ то
$$f(x)=(3-x)(2-x)=x^2-5x+6.$$По графику видно, что наибольшее значение функции равно $$0,$$ а наименьшее — $$-\\frac14.$$
Следовательно:
один корень при $$p\in(-\\infty; -\\tfrac14)\cup(0; +\\infty);$$
два корня при $$p\in\\{-\\tfrac14; 0\\};$$
три корня при $$p\in(-\\tfrac14; 0).$$в) $$f(x)=\\dfrac{x^2-x}{|x|}$$
При $$x>0$$ имеем
$$f(x)=\\frac{x^2-x}{x}=x-1.$$
При $$x<0$$ имеем
$$f(x)=\\frac{x^2-x}{-x}=1-x.$$График состоит из двух лучей. Уравнение $$f(x)=p$$ имеет:
один корень при $$p\in(-\\infty; -1]\\cup[1; +\\infty);$$
два корня при $$p\in(-1; 1).$$г) $$f(x)=|x|\cdot(x-1)$$
Если $$x\ge 0,$$ то
$$f(x)=x(x-1)=x^2-x.$$
Если $$x<0,$$ то
$$f(x)=-x(x-1)=x-x^2.$$По графику:
один корень при $$p\in(-\\infty; -\\tfrac14)\cup(0; +\\infty);$$
два корня при $$p\in\\{-\\tfrac14; 0\\};$$
три корня при $$p\in(-\\tfrac14; 0).$$д) $$f(x)=|x-2|+x^2-x$$
Если $$x\ge 2,$$ то
$$f(x)=x-2+x^2-x=x^2-2.$$
Если $$x<2,$$ то
$$f(x)=2-x+x^2-x=x^2-2x+2.$$Минимальное значение функции равно $$1.$$ Поэтому:
один корень при $$p=1;$$
два корня при $$p\in(1; +\\infty);$$
нет корней при $$p\in(-\\infty; 1).$$е) $$f(x)=\\dfrac{|x|-x^2}{x}$$
При $$x>0$$ имеем
$$f(x)=\\frac{x-x^2}{x}=1-x.$$
При $$x<0$$ имеем
$$f(x)=\\frac{-x-x^2}{x}=-1-x.$$Следовательно:
один корень при $$p\in(-\\infty; -1]\\cup[1; +\\infty);$$
два корня при $$p\in(-1; 1).$$Найдём члены арифметической прогрессии.
Формула $$n$$-го члена:
$$a_n=a_1+(n-1)d.$$а) $$a_1=1,\ d=-2,\ n=9$$
$$a_9=1+8\cdot(-2)=1-16=-15.$$
б) $$a_1=\\frac34,\ d=-\\frac13,\ n=13$$
$$a_{13}=\\frac34+12\\cdot\\left(-\\frac13\\right)=\\frac34-4=-\\frac{13}{4}=-3\\frac14.$$
в) $$a_1=1{,}5,\ d=-1{,}5,\ n=21$$
$$a_{21}=1{,}5+20\\cdot(-1{,}5)=1{,}5-30=-28{,}5.$$
г) $$a_1=-0{,}2,\ d=-1{,}8,\ n=7$$
$$a_7=-0{,}2+6\\cdot(-1{,}8)=-0{,}2-10{,}8=-11.$$
Ответ
а) один корень при любом $$p\in\\mathbb{R}$$;
б) один корень при $$p\in(-\\infty; -\\tfrac14)\cup(0; +\\infty),$$ два корня при $$p\in\\{-\\tfrac14; 0\\},$$ три корня при $$p\in(-\\tfrac14; 0);$$
в) один корень при $$p\in(-\\infty; -1]\\cup[1; +\\infty),$$ два корня при $$p\in(-1; 1);$$
г) один корень при $$p\in(-\\infty; -\\tfrac14)\cup(0; +\\infty),$$ два корня при $$p\in\\{-\\tfrac14; 0\\},$$ три корня при $$p\in(-\\tfrac14; 0);$$
д) один корень при $$p=1,$$ два корня при $$p\in(1; +\\infty),$$ нет корней при $$p\in(-\\infty; 1);$$
е) один корень при $$p\in(-\\infty; -1]\\cup[1; +\\infty),$$ два корня при $$p\in(-1; 1);$$
$$a_9=-15,$$ $$a_{13}=-3\\frac14,$$ $$a_{21}=-28{,}5,$$ $$a_7=-11.$$
