Упр.22.21 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. а) Найдите натуральные значения параметра $$p$$, при которых во множестве решений неравенства $$x^2-(p+7)x+7p<0$$ содержатся ровно три натуральных числа.
   б) Найдите все значения параметра $$p$$, при которых во множестве решений неравенства $$(p-2)x+2p-x^2?0$$ не содержится ни одного натурального числа.

а) Рассмотрим неравенство

$$x^2-(p+7)x+7p<0.$$

Разложим левую часть на множители:

$$x^2-(p+7)x+7p=(x-7)(x-p).$$

Тогда

$$(x-7)(x-p)<0.$$

Решения этого неравенства лежат между корнями $$7$$ и $$p$$. Чтобы среди них было ровно три натуральных числа, расстояние между числами $$7$$ и $$p$$ должно быть равно $$4$$.

Возможны два случая:

$$p-7=4 \Rightarrow p=11,$$

$$7-p=4 \Rightarrow p=3.$$

При этих значениях параметра в промежутке между корнями содержатся ровно три натуральных числа.

б) Рассмотрим неравенство

$$(p-2)x+2p-x^2\ge 0.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$x^2-(p-2)x-2p\le 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(p-2)^2+8p=p^2+4p+4=(p+2)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{p-2\pm(p+2)}{2},$$

откуда

$$x_1=-2,\qquad x_2=p.$$

Следовательно,

$$(x+2)(x-p)\le 0.$$

Решения неравенства — отрезок между числами $$-2$$ и $$p$$.

Чтобы в этом множестве не было ни одного натурального числа, нужно, чтобы весь отрезок лежал левее $$1$$:

$$p<1.$$

При $$p=1$$ число $$1$$ уже входит в множество решений, поэтому этот случай не подходит.

Ответ

а) $$p=3,\ 11.$$

б) $$p\in(-\infty;1).$$