Упр.13.13 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство: а) $$\frac{9-4x^2}{x^2-8x+16}?0$$; б) $$\frac{x^2-10x+25}{16-9x^2}?0$$.

а)

$$\frac{9-4x^2}{x^2-8x+16}\le 0$$

Разложим на множители:

$$9-4x^2=(3-2x)(3+2x), \qquad x^2-8x+16=(x-4)^2$$

Тогда

$$\frac{(3-2x)(3+2x)}{(x-4)^2}\le 0$$

Так как $$(x-4)^2>0$$ при $$x\ne 4$$, знак дроби определяется числителем. Решаем неравенство:

$$9-4x^2\le 0$$

$$4x^2-9\ge 0$$

$$(2x-3)(2x+3)\ge 0$$

$$x\le -\frac32 \quad \text{или} \quad x\ge \frac32$$

С учётом ОДЗ $$x\ne 4$$ получаем:

$$(-\infty;-\tfrac32]\cup[\tfrac32;4)\cup(4;+\infty)$$

б)

$$\frac{x^2-10x+25}{16-9x^2}\ge 0$$

Разложим на множители:

$$x^2-10x+25=(x-5)^2,\qquad 16-9x^2=(4-3x)(4+3x)$$

Тогда

$$\frac{(x-5)^2}{16-9x^2}\ge 0$$

Числитель неотрицателен при любом $$x$$, поэтому дробь будет неотрицательной, когда знаменатель положителен, либо когда числитель равен нулю:

$$16-9x^2>0 \quad \text{или} \quad x=5$$

$$9x^2<16$$

$$-\frac43<x<\frac43$$

Точка $$x=5$$ подходит, так как знаменатель при этом не равен нулю.

$$\left(-\frac43;\frac43\right)\cup\{5\}$$

Ответ

а) $$(-\infty;-\tfrac32]\cup[\tfrac32;4)\cup(4;+\infty)$$; б) $$\left(-\tfrac43;\tfrac43\right)\cup\{5\}$$.