Тест Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Укажите пару чисел, которая не является решением рационального уравнения $$xy-4y=20$$.
а) $$(-36;\,-0{,}5)$$; б) $$(-16;\,-1)$$; в) $$(-9;\,4)$$; г) $$(2;\,-10)$$. - Укажите пару равносильных уравнений.
а) $$\frac{x-2y}{5}=5$$ и $$x-2y=25$$;
б) $$(x^2+y^2)(0{,}2x+0{,}4y+1)=0$$ и $$x+2y=-5$$;
в) $$\frac{x^2-4y^2}{5(x-2y)}=0$$ и $$x^2-4y^2=0$$;
г) $$(x+2y)^2=25$$ и $$x+2y=5$$. - Укажите верные утверждения.
1) Графиком уравнения $$x^2+y^2=3$$ является окружность с центром в начале координат и радиусом, равным трём.
2) Графиком уравнения $$2y+x=2(y-1)$$ является прямая.
3) Графиком уравнения $$x+xy=2$$ является гипербола. - Найдите длину отрезка $$NQ$$, если $$N(-2;\,9)$$ и $$Q(-7;\,-3)$$.
- Укажите уравнение окружности с центром в точке $$(-7;\,2)$$ и радиусом $$10$$.
а) $$(x+7)^2+(y-2)^2=10$$; б) $$(x-7)^2+(y+2)^2=10$$; в) $$(x-7)^2+(y+2)^2=100$$; г) $$(x+7)^2+(y-2)^2=100$$. - Найдите расстояние между точками пересечения окружности $$(x+2)^2+y^2=25$$ и прямой $$y=-3$$.
- Укажите системы уравнений, решением которых является пара чисел $$(-2;\,-3)$$.
а) $$\begin{cases}x^2+y^2=13,\\2x-y=-1;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x^2+y^2=13,\\2x+y=7;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}x^2-y^2=-5,\\2x^2-y=11;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}x^2-y^2=-5,\\2x-y^2=5.\end{cases}$$ - Решите систему уравнений $$\begin{cases}2x-y=-2,\\xy=4.\end{cases}$$
- Укажите полуокружность, заданную уравнением $$y=\sqrt{9-(x+2)^2}$$.
- Мастер и ученик, работая одновременно, могут покрасить стены в кабинете за 2 ч. Мастер, работая один, может выполнить эту работу на 3 ч быстрее, чем ученик. Сколько времени затратит ученик на покраску стен в кабинете, работая один?
Проверим подстановкой уравнение $$xy-4y=20$$.
Для пары $$(-9;4)$$ получаем:
$$(-9)\cdot 4-4\cdot 4=-36-16=-52\neq 20.$$
Эта пара не является решением.
Равносильны уравнения, имеющие одинаковые решения.
$$\frac{x-2y}{5}=5 \iff x-2y=25.$$
Это верная пара.
1) $$x^2+y^2=3$$ — окружность с центром в начале координат и радиусом $$\sqrt{3}$$, а не 3.
2) $$2y+x=2(y-1)\iff x=-2$$ — прямая.
3) $$x+xy=2 \iff x(1+y)=2 \iff y=\frac{2}{x}-1$$ — гипербола.
Верные утверждения: 2), 3).
Найдём расстояние между точками $$N(-2;9)$$ и $$Q(-7;-3)$$:
$$NQ=\sqrt{(-2+7)^2+(9+3)^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13.$$
Уравнение окружности с центром $$(-7;2)$$ и радиусом $$10$$:
$$(x+7)^2+(y-2)^2=100.$$
Подставим $$y=-3$$ в уравнение окружности:
$$(x+2)^2+y^2=25$$
$$(x+2)^2+9=25$$
$$(x+2)^2=16$$
$$x=-6 \text{ или } x=2.$$
Расстояние между точками пересечения:
$$2-(-6)=8.$$
Проверим пару $$(-2;-3)$$.
а) $$(-2)^2+(-3)^2=4+9=13,$$ $$2\cdot(-2)-(-3)=-4+3=-1.$$
б) $$2\cdot(-2)+(-3)=-7\neq 7.$$
в) $$(-2)^2-(-3)^2=4-9=-5,$$ $$2\cdot(-2)^2-(-3)=8+3=11.$$
г) $$2\cdot(-2)-(-3)^2=-4-9=-13\neq 5.$$
Подходит система а).
Из первого уравнения:
$$y=2x+2.$$
Подставим во второе:
$$x(2x+2)=4,$$
$$2x^2+2x-4=0,$$
$$x^2+x-2=0,$$
$$(x+2)(x-1)=0.$$
Тогда $$x=-2$$ или $$x=1$$.
Если $$x=-2$$, то $$y=2\cdot(-2)+2=-2$$.
Если $$x=1$$, то $$y=2\cdot1+2=4$$.
$$y=\sqrt{9-(x+2)^2}$$
$$y^2=9-(x+2)^2$$
$$(x+2)^2+y^2=9,\quad y\ge 0.$$
Это верхняя полуокружность окружности с центром $$(-2;0)$$ и радиусом $$3$$.
Пусть $$x$$ ч — время, за которое мастер красит кабинет один, а $$y$$ ч — время ученика.
Тогда:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2},$$
$$x=y-3.$$
Подставим $$x=y-3$$:
$$\frac{1}{y-3}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}.$$
$$2y+2(y-3)=y(y-3),$$
$$4y-6=y^2-3y,$$
$$y^2-7y+6=0,$$
$$(y-1)(y-6)=0.$$
Так как $$y>3$$, получаем $$y=6$$.
Ответ
1) в; 2) а; 3) 2), 3); 4) 13; 5) г; 6) 8; 7) а; 8) $$(-2;-2),\ (1;4)$$; 9) б; 10) 6 ч.
