Упр.5.3 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений методом подстановки: а) $$\begin{cases}2x^2+y^2=19,\\ y-2x=5;\end{cases}$$ г) $$\begin{cases}x^2-y^2=45,\\ x-2y=3;\end{cases}$$ б) $$\begin{cases}x^2+3xy+y^2=-1,\\ x+2y=0;\end{cases}$$ д) $$\begin{cases}x^2+xy-y^2=20,\\ x-2y=0;\end{cases}$$ в) $$\begin{cases}xy+y^2+x-3y=8,\\ x+y=6;\end{cases}$$ е) $$\begin{cases}x^2-xy-x+2y=22,\\ x-y=3.\end{cases}$$

1. а) Из второго уравнения выразим $$y$$:

   $$y-2x=5 \Rightarrow y=2x+5.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$2x^2+(2x+5)^2=19$$

   $$2x^2+4x^2+20x+25=19$$

   $$6x^2+20x+6=0$$

   $$3x^2+10x+3=0$$

   $$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64$$

   $$x_1=\frac{-10-8}{6}=-3,\quad x_2=\frac{-10+8}{6}=-\frac13.$$

   Тогда

   $$y_1=2\cdot(-3)+5=-1,\quad y_2=2\cdot\left(-\frac13\right)+5=\frac{13}{3}.$$

   Получаем решения:

   $$(-3;\,-1),\ \left(-\frac13;\,\frac{13}{3}\right).$$

2. б) Из второго уравнения:

   $$x+2y=0 \Rightarrow x=-2y.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$(-2y)^2+3(-2y)y+y^2=-1$$

   $$4y^2-6y^2+y^2=-1$$

   $$-y^2=-1 \Rightarrow y^2=1.$$

   Значит, $$y=1$$ или $$y=-1$$. Тогда

   $$x=-2y \Rightarrow x=-2 \text{ или } x=2.$$

   Ответы:

   $$(-2;\,1),\ (2;\,-1).$$

3. в) Из второго уравнения:

   $$x+y=6 \Rightarrow y=6-x.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$x(6-x)+(6-x)^2+x-3(6-x)=8$$

   $$6x-x^2+36-12x+x^2+x-18+3x=8$$

   $$-2x+18=8$$

   $$x=5,\quad y=6-5=1.$$

   Ответ:

   $$(5;\,1).$$

4. г) Из второго уравнения:

   $$x-2y=3 \Rightarrow x=2y+3.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$(2y+3)^2-y^2=45$$

   $$4y^2+12y+9-y^2=45$$

   $$3y^2+12y-36=0$$

   $$y^2+4y-12=0$$

   $$D=4^2+4\cdot 12=64.$$

   $$y_1=\frac{-4-8}{2}=-6,\quad y_2=\frac{-4+8}{2}=2.$$

   Тогда

   $$x_1=2\cdot(-6)+3=-9,\quad x_2=2\cdot 2+3=7.$$

   Ответ:

   $$(-9;\,-6),\ (7;\,2).$$

5. д) Из второго уравнения:

   $$x-2y=0 \Rightarrow x=2y.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$(2y)^2+(2y)\cdot y-y^2=20$$

   $$4y^2+2y^2-y^2=20$$

   $$5y^2=20 \Rightarrow y^2=4.$$

   Значит, $$y=2$$ или $$y=-2$$, тогда $$x=4$$ или $$x=-4$$.

   Ответ:

   $$(-4;\,-2),\ (4;\,2).$$

6. е) Из второго уравнения:

   $$x-y=3 \Rightarrow y=x-3.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$x^2-x(x-3)-x+2(x-3)=22$$

   $$x^2-x^2+3x-x+2x-6=22$$

   $$4x-6=22$$

   $$x=7,\quad y=7-3=4.$$

   Ответ:

   $$(7;\,4).$$

Ответ

а) $$(-3;\,-1),\ \left(-\frac13;\,\frac{13}{3}\right)$$; б) $$(-2;\,1),\ (2;\,-1)$$; в) $$(5;\,1)$$; г) $$(-9;\,-6),\ (7;\,2)$$; д) $$(-4;\,-2),\ (4;\,2)$$; е) $$(7;\,4)$$.