Упр.3.21 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. а) Составьте уравнение окружности, проходящей через точки $$O(0; 0)$$, $$P(4; 0)$$ и $$T(0; 3)$$.
   б) Составьте уравнение окружности, проходящей через точки $$A(-1; 0)$$, $$B(0; 3)$$ и $$C(4; -5)$$.

а) Пусть центр окружности имеет координаты $$(x_0;y_0)$$, а радиус равен $$R$$. Тогда точки $$O(0;0)$$, $$P(4;0)$$ и $$T(0;3)$$ лежат на окружности, значит их расстояния до центра равны.

Из равенства расстояний до точек $$O$$ и $$P$$ получаем:

$$x_0^2+y_0^2=(x_0-4)^2+y_0^2$$

$$x_0^2=x_0^2-8x_0+16$$

$$8x_0=16,\quad x_0=2.$$

Из равенства расстояний до точек $$O$$ и $$T$$:

$$x_0^2+y_0^2=x_0^2+(y_0-3)^2$$

$$y_0^2=y_0^2-6y_0+9$$

$$6y_0=9,\quad y_0=1{,}5.$$

Тогда

$$R^2=(2-0)^2+(1{,}5-0)^2=4+2{,}25=6{,}25.$$

Уравнение окружности:

$$(x-2)^2+(y-1{,}5)^2=6{,}25.$$

б) Пусть центр окружности имеет координаты $$(x_0;y_0)$$. Так как точки $$A(-1;0)$$, $$B(0;3)$$ и $$C(4;-5)$$ лежат на окружности, то:

$$(x_0+1)^2+y_0^2=x_0^2+(y_0-3)^2$$

Раскроем скобки:

$$x_0^2+2x_0+1+y_0^2=x_0^2+y_0^2-6y_0+9$$

$$2x_0+6y_0=8$$

$$x_0+3y_0=4.$$

Теперь используем точки $$A$$ и $$C$$:

$$(x_0+1)^2+y_0^2=(x_0-4)^2+(y_0+5)^2$$

$$x_0^2+2x_0+1+y_0^2=x_0^2-8x_0+16+y_0^2+10y_0+25$$

$$10x_0-10y_0=40$$

$$x_0-y_0=4.$$

Решаем систему:

$$\begin{cases} x_0+3y_0=4,\\ x_0-y_0=4. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$4y_0=0,\quad y_0=0.$$

Тогда $$x_0=4$$. Радиус:

$$R^2=(4-(-1))^2+(0-0)^2=25.$$

Уравнение окружности:

$$(x-4)^2+y^2=25.$$

Ответ

а) $$(x-2)^2+(y-1{,}5)^2=6{,}25$$

б) $$(x-4)^2+y^2=25$$