Упр.759 ГДЗ Макарычев Миндюк Феоктистов 9 класс (Алгебра)

Для геометрической прогрессии $$a_n=a_1q^{n-1}$$ имеем:

$$\begin{cases} a_3-a_2=0{,}6,\\ a_5-a_3=1{,}2,\\ S_n=38{,}1. \end{cases}$$

Подставим формулу общего члена прогрессии:

$$\begin{cases} a_1q^2-a_1q=0{,}6,\\ a_1q^4-a_1q^2=1{,}2. \end{cases}$$

Вынесем общие множители:

$$\begin{cases} a_1q(q-1)=0{,}6,\\ a_1q^2(q^2-1)=1{,}2. \end{cases}$$

Разделив второе уравнение на первое, получим:

$$q(q+1)=\frac{1{,}2}{0{,}6}=2,$$
$$q^2+q-2=0,$$
$$(q-1)(q+2)=0.$$

Значение $$q=1$$ не подходит, так как тогда $$a_1q(q-1)=0\ne0{,}6$$. Поэтому $$q=-2$$ или $$q=2$$. Из первого уравнения при $$q=2$$:

$$a_1\cdot2\cdot(2-1)=0{,}6,$$
$$a_1=0{,}3.$$

Используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}.$$

Тогда

$$38{,}1=\frac{0{,}3(2^n-1)}{2-1},$$
$$2^n-1=127,$$
$$2^n=128=2^7.$$

Следовательно, $$n=7$$.

Ответ: $$n=7$$.