Упр.1214 ГДЗ Макарычев Миндюк Феоктистов 9 класс (Алгебра)

При $$\sin\alpha\ne0$$, $$\sin\beta\ne0$$ и $$\sin\gamma\ne0$$ преобразуем каждую дробь:

$$\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin\alpha\sin\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta} = \operatorname{ctg}\beta-\operatorname{ctg}\alpha.$$

Аналогично:

$$\frac{\sin(\beta-\gamma)}{\sin\beta\sin\gamma} = \operatorname{ctg}\gamma-\operatorname{ctg}\beta, \qquad \frac{\sin(\gamma-\alpha)}{\sin\gamma\sin\alpha} = \operatorname{ctg}\alpha-\operatorname{ctg}\gamma.$$

Складывая полученные выражения, имеем:

$$\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin\alpha\sin\beta} + \frac{\sin(\beta-\gamma)}{\sin\beta\sin\gamma} + \frac{\sin(\gamma-\alpha)}{\sin\gamma\sin\alpha} = \operatorname{ctg}\beta-\operatorname{ctg}\alpha +\operatorname{ctg}\gamma-\operatorname{ctg}\beta +\operatorname{ctg}\alpha-\operatorname{ctg}\gamma =0.$$

Ответ

$$0$$.