Упр.1213 ГДЗ Макарычев Миндюк Феоктистов 9 класс (Алгебра)

Используем формулы $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{1}{\operatorname{ctg}\alpha}$$ и $$\operatorname{tg}\beta=\frac{1}{\operatorname{ctg}\beta}.$$

1. Для суммы углов:

   $$\begin{aligned} \operatorname{tg}(\alpha+\beta) &=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta} {1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta} \\\\ &=\frac{\frac{1}{\operatorname{ctg}\alpha}+ \frac{1}{\operatorname{ctg}\beta}} {1-\frac{1}{\operatorname{ctg}\alpha\operatorname{ctg}\beta}} \\\\ &=\frac{\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta} {\operatorname{ctg}\alpha\operatorname{ctg}\beta-1}. \end{aligned}$$

2. Для разности углов:

   $$\begin{aligned} \operatorname{tg}(\alpha-\beta) &=\frac{\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\beta} {1+\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta} \\\\ &=\frac{\frac{1}{\operatorname{ctg}\alpha}- \frac{1}{\operatorname{ctg}\beta}} {1+\frac{1}{\operatorname{ctg}\alpha\operatorname{ctg}\beta}} \\\\ &=\frac{\operatorname{ctg}\beta-\operatorname{ctg}\alpha} {\operatorname{ctg}\alpha\operatorname{ctg}\beta+1}. \end{aligned}$$

Ответ:

$$\operatorname{tg}(\alpha+\beta)= \frac{\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta} {\operatorname{ctg}\alpha\operatorname{ctg}\beta-1}, \qquad \operatorname{tg}(\alpha-\beta)= \frac{\operatorname{ctg}\beta-\operatorname{ctg}\alpha} {\operatorname{ctg}\alpha\operatorname{ctg}\beta+1}.$$