Упр.1027 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, то значения выражений $$a^2+ab+b^2$$, $$a^2+ac+c^2$$, $$b^2+bc+c^2$$ также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Так как числа $$a, b, c$$ — последовательные члены арифметической прогрессии, то

$$a+c=2b.$$

Обозначим

$$x=a^2+ab+b^2,\quad y=a^2+ac+c^2,\quad z=b^2+bc+c^2.$$

Нужно доказать, что $$x, y, z$$ — последовательные члены арифметической прогрессии, то есть

$$2y=x+z.$$

Вычислим:

$$x+z=(a^2+ab+b^2)+(b^2+bc+c^2)=a^2+ab+2b^2+bc+c^2.$$

А также

$$2y=2(a^2+ac+c^2)=2a^2+2ac+2c^2.$$

Рассмотрим разность:

$$2y-(x+z)=2a^2+2ac+2c^2-a^2-ab-2b^2-bc-c^2.$$

Преобразуем, используя $$a+c=2b$$:

$$2y-(x+z)=a^2+2ac+c^2-ab-bc-2b^2$$

$$=(a+c)^2-b(a+c)-2b^2.$$

Так как $$a+c=2b$$, получаем

$$(2b)^2-b\cdot 2b-2b^2=4b^2-2b^2-2b^2=0.$$

Значит,

$$2y=x+z,$$

то есть числа $$a^2+ab+b^2,\ a^2+ac+c^2,\ b^2+bc+c^2$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ

Доказано: $$a^2+ab+b^2,\ a^2+ac+c^2,\ b^2+bc+c^2$$ — последовательные члены арифметической прогрессии.