Упр.802 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Значение квадратичной функции $$y=ax^2+bx+c$$ в точке $$x=-1$$ равно $$0$$, а при $$x=\frac{1}{4}$$ функция принимает наименьшее значение, равное $$-\frac{25}{8}$$. Найдите коэффициенты $$a$$, $$b$$ и $$c$$.
2. Разность арифметической прогрессии равна $$28$$, а сумма пяти первых членов в $$4$$ раза меньше суммы следующих шести членов. Чему равен первый член прогрессии?

1. Рассмотрим квадратичную функцию $$y=ax^2+bx+c.$$

   Так как при $$x=-1$$ значение функции равно $$0$$, получаем:

   $$a-b+c=0.$$

   При $$x=\frac14$$ функция принимает наименьшее значение $$-\frac{25}{8}$$, значит, вершина параболы имеет координаты $$\left(\frac14,-\frac{25}{8}\right).$$

   Абсцисса вершины:

   $$-\frac{b}{2a}=\frac14,$$

   откуда

   $$b=-\frac{a}{2}.$$

   Подставим это в уравнение $$a-b+c=0$$:

   $$a+\frac{a}{2}+c=0,$$

   $$c=-\frac{3a}{2}.$$

   Теперь используем значение функции в вершине:

   $$a\left(\frac14\right)^2+b\left(\frac14\right)+c=-\frac{25}{8}.$$

   Подставим $$b=-\frac{a}{2}$$ и $$c=-\frac{3a}{2}$$:

   $$\frac{a}{16}-\frac{a}{8}-\frac{3a}{2}=-\frac{25}{8}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{a-2a-24a}{16}=-\frac{25}{8},$$

   $$-\frac{25a}{16}=-\frac{25}{8},$$

   $$a=2.$$

   Тогда

   $$b=-\frac{a}{2}=-1,\qquad c=-\frac{3a}{2}=-3.$$

2. Пусть первый член арифметической прогрессии равен $$a_1$$, а разность $$d=28.$$

   Сумма первых пяти членов:

   $$S_5=\frac{5}{2}\bigl(2a_1+4d\bigr).$$

   Сумма следующих шести членов — это $$S_{11}-S_5$$, и по условию:

   $$S_5=\frac14(S_{11}-S_5).$$

   Тогда

   $$4S_5=S_{11}-S_5,$$

   $$5S_5=S_{11}.$$

   Используем формулу суммы:

   $$5\cdot \frac{5}{2}(2a_1+4d)=\frac{11}{2}(2a_1+10d).$$

   Умножим на 2:

   $$25(2a_1+4d)=11(2a_1+10d).$$

   Подставим $$d=28$$:

   $$25(2a_1+112)=11(2a_1+280).$$

   $$50a_1+2800=22a_1+3080,$$

   $$28a_1=280,$$

   $$a_1=10.$$

Ответ

$$a=2,\ b=-1,\ c=-3;\quad 10.$$