Упр.736 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: 1) $$\sqrt{\frac{3}{2}},\ 1,\ \sqrt{\frac{2}{3}},\ \ldots$$; 2) $$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1},\ \frac{1}{2-\sqrt{2}},\ \frac{1}{2},\ \ldots$$.
2. Какие четыре числа надо вставить между числами $$4$$ и $$-5$$, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию?

1. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии $$\sqrt{\frac{3}{2}},\ 1,\ \sqrt{\frac{2}{3}},\ldots$$

   Здесь $$b_1=\sqrt{\frac{3}{2}},\quad q=\frac{1}{\sqrt{3/2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

   Тогда

   $$S=\frac{b_1}{1-q} =\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{1-\sqrt{\frac{2}{3}}} =\frac{3}{2}(\sqrt{6}+2).$$

2. Для прогрессии $$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1},\ \frac{1}{2-\sqrt{2}},\ \frac{1}{2},\ldots$$

   имеем

   $$b_1=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1},\quad q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{1}{2+\sqrt{2}}.$$

   Тогда

   $$S=\frac{b_1}{1-q} =\frac{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}{1-\frac{1}{2+\sqrt{2}}} =3\sqrt{2}+4.$$

3. Пусть между числами $$4$$ и $$-5$$ вставлены четыре числа, тогда получится арифметическая прогрессия из шести членов:

   $$4,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5,\ -5.$$

   Разность прогрессии:

   $$d=\frac{a_6-a_1}{5}=\frac{-5-4}{5}=-\frac{9}{5}=-1{,}8.$$

   Находим вставленные числа:

   $$a_2=4-1{,}8=2{,}2,\quad a_3=2{,}2-1{,}8=0{,}4,$$

   $$a_4=0{,}4-1{,}8=-1{,}4,\quad a_5=-1{,}4-1{,}8=-3{,}2.$$

Ответ

1) $$\frac{3}{2}(\sqrt{6}+2);$$ 2) $$3\sqrt{2}+4;$$ 3) $$2{,}2;\ 0{,}4;\ -1{,}4;\ -3{,}2.$$