Упр.155 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество: $$\left(\frac{a+1}{a-1}-\frac{a}{a+1}\right):\frac{3a+1}{a^2+a}=\frac{a}{a-1}$$.
2. Постройте график функции:
   1) $$y=|x-2|$$;
   2) $$y=|x+3|-1$$;
   3) $$y=|x-1|+x$$.

Докажем тождество:

$$\left(\frac{a+1}{a-1}-\frac{a}{a+1}\right):\frac{3a+1}{a^2+a}=\frac{a}{a-1}.$$

Преобразуем выражение в левой части:

$$\left(\frac{a+1}{a-1}-\frac{a}{a+1}\right):\frac{3a+1}{a^2+a} = \frac{(a+1)^2-a(a-1)}{(a-1)(a+1)}\cdot\frac{a(a+1)}{3a+1}.$$

Упростим числитель первой дроби:

$$(a+1)^2-a(a-1)=a^2+2a+1-a^2+a=3a+1.$$

Тогда

$$\frac{3a+1}{(a-1)(a+1)}\cdot\frac{a(a+1)}{3a+1} = \frac{a}{a-1}.$$

Тождество доказано.

Построим графики функций.

1. $$y=|x-2|$$

   Если $$x<2$$, то $$y=2-x$$.
   Если $$x\ge 2$$, то $$y=x-2$$.

   График — V-образная ломаная с вершиной в точке $$\left(2,0\right)$$.

2. $$y=|x+3|-1$$

   Если $$x<-3$$, то $$y=-x-4$$.
   Если $$x\ge -3$$, то $$y=x+2$$.

   График — V-образная ломаная с вершиной в точке $$\left(-3,-1\right)$$.

3. $$y=|x-1|+x$$

   Если $$x<1$$, то $$y=1-x+x=1$$.
   Если $$x\ge 1$$, то $$y=x-1+x=2x-1$$.

   График состоит из горизонтального луча $$y=1$$ при $$x<1$$ и луча прямой $$y=2x-1$$ при $$x\ge 1$$, соединяющихся в точке $$\left(1,1\right)$$.

Ответ

$$\left(\frac{a+1}{a-1}-\frac{a}{a+1}\right):\frac{3a+1}{a^2+a}=\frac{a}{a-1}.$$

1) вершина графика $$\left(2,0\right)$$; 2) вершина графика $$\left(-3,-1\right)$$; 3) $$y=1$$ при $$x<1$$, $$y=2x-1$$ при $$x\ge 1$$.