Контрольные вопросы Параграф 1 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Сформулируйте определения возрастающей и убывающей функций на множестве $$X$$. Какая функция называется монотонной на множестве $$X$$? Приведите примеры возрастающей функции; убывающей функции.
- Какая функция называется чётной; нечётной? В чём состоит особенность графика чётной функции; нечётной функции? Приведите примеры чётной функции; нечётной функции.
- Какая функция называется ограниченной, неограниченной? Приведите примеры ограниченной функции; функции, ограниченной сверху; функции, ограниченной снизу.
- Найдите область значений функции $$y=\frac{1}{x^2+1}$$.
1. Функция $$f$$ называется возрастающей на множестве $$X$$, если для любых $$x_1, x_2 \in X$$ из неравенства $$x_1 < x_2$$ следует $$f(x_1) < f(x_2)$$.
Функция $$f$$ называется убывающей на множестве $$X$$, если для любых $$x_1, x_2 \in X$$ из неравенства $$x_1 < x_2$$ следует $$f(x_1) > f(x_2)$$.
Функция, которая на всём множестве $$X$$ либо возрастает, либо убывает, называется монотонной на множестве $$X$$.
Примеры: $$y=\sqrt{x}$$, $$y=x^3$$, $$y=x+3$$ — возрастающие функции; $$y=5-x$$, $$y=\frac{1}{x}$$, $$y=\sqrt{2-x}$$ — убывающие функции.
2. Функция $$f$$ называется чётной, если для любого $$x \in D(f)$$ противоположное значение $$-x \in D(f)$$ и выполняется равенство $$f(-x)=f(x)$$.
Функция $$f$$ называется нечётной, если для любого $$x \in D(f)$$ противоположное значение $$-x \in D(f)$$ и выполняется равенство $$f(-x)=-f(x)$$.
График чётной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Примеры: $$y=x^2$$, $$y=x^4+5$$ — чётные функции; $$y=\frac{1}{x}$$, $$y=x^3+x$$ — нечётные функции.
3. Функция называется ограниченной, если существуют числа $$a$$ и $$b$$ такие, что для любого $$x$$ выполняется неравенство $$a \le f(x) \le b$$.
Если такого двойного ограничения нет, функция называется неограниченной.
Примеры: $$y=\frac{5}{x^2+1}$$ — ограниченная функция; $$y=5+2x-x^2$$ — ограничена сверху; $$y=\sqrt{x}+5$$ — ограничена снизу.
4. Найдём область значений функции $$y=\frac{1}{x^2+1}$$.
Так как $$x^2 \ge 0$$, то $$x^2+1 \ge 1$$, значит
$$0 < \frac{1}{x^2+1} \le 1.$$
При $$x=0$$ получаем $$y=1$$, а при больших по модулю $$x$$ значение $$y$$ стремится к $$0$$, но не достигает его.
Ответ: $$E(y)=(0;1].$$
