Упр.965 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что верно равенство:
   
   а) $$\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}$$;
   
   б) $$\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$$.
2. Докажите, что уравнение $$\left(2x-3\right)^{\frac{1}{4}}-5x=\left(27-18x\right)^{\frac{1}{4}}-7{,}5$$ имеет единственный корень, и найдите его.

Рассмотрим уравнение

$$\sqrt[4]{2x-3}-5x=\sqrt[4]{27-18x}-7{,}5.$$

Найдём область определения:

$$2x-3\ge 0,\qquad 27-18x\ge 0.$$

Отсюда

$$x\ge 1{,}5,\qquad x\le 1{,}5.$$

Следовательно, единственно возможное значение переменной:

$$x=1{,}5.$$

Проверим его:

$$\sqrt[4]{2\cdot 1{,}5-3}-5\cdot 1{,}5=\sqrt[4]{0}-7{,}5=-7{,}5,$$

$$\sqrt[4]{27-18\cdot 1{,}5}-7{,}5=\sqrt[4]{0}-7{,}5=-7{,}5.$$

Равенство верно, значит, уравнение имеет единственный корень.

Ответ

$$x=1{,}5.$$