Упр.956 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Задание учебника 2026 года. Функция задана формулой $$f(x)=\frac{1}{x-2}+3$$. Найдите: а) $$D(f)$$ и $$E(f)$$; б) $$D(g)$$ и $$E(g)$$, где $$g$$ — функция, обратная $$f$$.
2. Задание учебника 2023 года. Решите неравенство: а) $$(x^2-4)(x+1)(x-8)>0$$; б) $$\frac{x^3-2x^2+x-2}{x^2-25}?0$$.

а) Разложим многочлен на множители:

$$x^2-4=(x-2)(x+2).$$

Тогда

$$(x^2-4)(x+1)(x-8)=(x+2)(x-2)(x+1)(x-8).$$

Нули выражения: $$x=-2,\,-1,\,2,\,8.$$

Рассмотрим знаки на промежутках, учитывая, что все корни простые, значит знак меняется при переходе через каждый из них:

$$(-\infty,-2),\;(-2,-1),\;(-1,2),\;(2,8),\;(8,+\infty).$$

При $$x>8$$ выражение положительно, значит нужные промежутки, где оно больше нуля:

$$(-\infty,-2)\cup(-1,2)\cup(8,+\infty).$$

б) Разложим числитель на множители:

$$x^3-2x^2+x-2=x^2(x-2)+(x-2)=(x-2)(x^2+1).$$

Тогда

$$\frac{x^3-2x^2+x-2}{x^2-25} = \frac{(x-2)(x^2+1)}{(x-5)(x+5)}.$$

Так как $$x^2+1>0$$ при всех $$x$$, знак дроби определяется выражением

$$\frac{x-2}{(x-5)(x+5)}\le 0,$$

при этом $$x\ne -5,\; x\ne 5.$$

Критические точки: $$-5,\;2,\;5.$$

Исследуем знаки на промежутках:

$$(-\infty,-5),\;(-5,2),\;(2,5),\;(5,+\infty).$$

Подходит промежуток, где дробь неположительна, а также точка $$x=2$$, где числитель равен нулю:

$$(-\infty,-5)\cup[2,5).$$

Ответ

а) $$(-\infty,-2)\cup(-1,2)\cup(8,+\infty)$$;

б) $$(-\infty,-5)\cup[2,5).$$