Упр.951 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Задайте формулой функцию, обратную данной:
а) $$y=x^3-6x^2+12x-8$$;
в) $$y=\frac{2x^3-x^2-2x+1}{x^2-1}$$;
б) $$y=\sqrt{x-2}+1$$;
г) $$y=\frac{x^5-x^3-x^2+1}{x^3-1}$$, где $$x\ne0$$.
Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от $$x$$ и $$y$$.
$$\frac{\left(x^2+y\sqrt{xy}+x\sqrt{xy}+y^2\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^{-2}-\sqrt{xy}}{x-y}+\frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.$$

Подробный ответ

Преобразуем выражение:

$$\frac{(x^2+y\sqrt{xy}+x\sqrt{xy}+y^2)\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{-2}-\sqrt{xy}}{x-y} +\frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$$

Так как $$(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{-2}=\frac{1}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2},$$ получаем

$$\frac{x^2+y\sqrt{xy}+x\sqrt{xy}+y^2-\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{(x-y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2} +\frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.$$

Раскроем квадрат:

$$(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=x+2\sqrt{xy}+y.$$

Тогда числитель первой дроби:

$$x^2+y\sqrt{xy}+x\sqrt{xy}+y^2-\sqrt{xy}(x+2\sqrt{xy}+y)$$
$$=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2.$$

Следовательно,

$$\frac{(x-y)^2}{(x-y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2} +\frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{x-y}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2} +\frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x-y+2\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2} = \frac{x-y+2\sqrt{xy}+2y}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}.$$

Так как $$x-y+2y=x+y,$$ то

$$\frac{x+2\sqrt{xy}+y}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2} = \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2} =1.$$

Значение выражения не зависит от $$x$$ и $$y$$.