Упр.943 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Докажите, что множество решений неравенства $$\sqrt{8-2x}-5x\mathord{?}\sqrt{6x-24}-20$$ состоит из одного числа.
- Докажите, что значение выражения является целым числом:
а) $$2^{1/2}\cdot(4+\sqrt{8})^{1/3}\cdot(3-2\sqrt{2})^{1/6}$$;
б) $$5^{2/3}\cdot(1+\sqrt{6})^{1/3}\cdot(7-2\sqrt{6})^{1/6}$$;
в) $$(10+6\sqrt{3})^{1/3}+(10-6\sqrt{3})^{1/3}$$;
г) $$(7+5\sqrt{2})^{1/3}+(7-5\sqrt{2})^{1/3}$$.
а) Обозначим данное выражение через $$x$$:
$$x=2^{\frac12}\cdot(4+\sqrt8)^{\frac13}\cdot(3-2\sqrt2)^{\frac16}.$$
Возведём в шестую степень:
$$x^6=2^3\cdot(4+\sqrt8)^2\cdot(3-2\sqrt2).$$
Так как $$\sqrt8=2\sqrt2,$$ то
$$4+\sqrt8=4+2\sqrt2,$$
$$(4+2\sqrt2)^2=16+16\sqrt2+8=24+16\sqrt2.$$
Тогда
$$x^6=8(24+16\sqrt2)(3-2\sqrt2).$$
Перемножим:
$$(24+16\sqrt2)(3-2\sqrt2)=72-48\sqrt2+48\sqrt2-64=8.$$
Значит,
$$x^6=8\cdot 8=64,$$
откуда
$$x=\sqrt[6]{64}=2.$$
б) Обозначим выражение через $$x$$:
$$x=5^{\frac23}\cdot(1+\sqrt6)^{\frac13}\cdot(7-2\sqrt6)^{\frac16}.$$
Возведём в шестую степень:
$$x^6=5^4\cdot(1+\sqrt6)^2\cdot(7-2\sqrt6).$$
Так как
$$(1+\sqrt6)^2=1+2\sqrt6+6=7+2\sqrt6,$$
то
$$x^6=5^4(7+2\sqrt6)(7-2\sqrt6).$$
Используем формулу разности квадратов:
$$(7+2\sqrt6)(7-2\sqrt6)=49-24=25.$$
Следовательно,
$$x^6=5^4\cdot25=5^4\cdot5^2=5^6,$$
значит,
$$x=\sqrt[6]{5^6}=5.$$
в) Обозначим
$$x=\sqrt[3]{10+6\sqrt3}+\sqrt[3]{10-6\sqrt3}.$$
Пусть
$$a=\sqrt[3]{10+6\sqrt3},\quad b=\sqrt[3]{10-6\sqrt3}.$$
Тогда
$$a^3+b^3=20,$$
$$ab=\sqrt[3]{(10+6\sqrt3)(10-6\sqrt3)}=\sqrt[3]{100-108}=\sqrt[3]{-8}=-2.$$
Используем формулу:
$$(a+b)^3=a^3+3ab(a+b)+b^3.$$
Получаем
$$x^3=20+3(-2)x=20-6x.$$
То есть
$$x^3+6x-20=0.$$
Проверяем целое значение: при $$x=2$$ имеем
$$2^3+6\cdot2-20=8+12-20=0.$$
Значит, $$x=2$$.
г) Обозначим
$$x=\sqrt[3]{7+5\sqrt2}+\sqrt[3]{7-5\sqrt2}.$$
Пусть
$$a=\sqrt[3]{7+5\sqrt2},\quad b=\sqrt[3]{7-5\sqrt2}.$$
Тогда
$$a^3+b^3=14,$$
$$ab=\sqrt[3]{(7+5\sqrt2)(7-5\sqrt2)}=\sqrt[3]{49-50}=\sqrt[3]{-1}=-1.$$
По формуле
$$(a+b)^3=a^3+3ab(a+b)+b^3$$
получаем
$$x^3=14+3(-1)x=14-3x.$$
То есть
$$x^3+3x-14=0.$$
Проверяем $$x=2$$:
$$2^3+3\cdot2-14=8+6-14=0.$$
Следовательно, $$x=2$$.
Ответ
а) $$2$$; б) $$5$$; в) $$2$$; г) $$2$$.
