Упр.925 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Решите уравнение:
а) $$5(x-1)^{1/4}+|x+7|=8$$;
б) $$4\sqrt{x+3}+|x+4|=6$$. - Докажите, что верно равенство:
а) $$(x-5)^{1/3}=\bigl((x-5)^2\bigr)^{1/6}$$, если $$x\geqslant5$$;
в) $$(9+\sqrt{80})^{1/3}+(9-\sqrt{80})^{1/3}=3$$;
б) $$(x-5)^{1/3}=-\bigl((x-5)^2\bigr)^{1/6}$$, если $$x<5$$;
г) $$(\sqrt{50}+7)^{1/3}+(\sqrt{50}-7)^{1/3}=3$$.
а) При $$x \ge 5$$ имеем $$x-5 \ge 0$$, поэтому можно записать:
$$\sqrt[3]{x-5}=\sqrt[6]{(x-5)^2},$$
так как
$$\left(\sqrt[6]{(x-5)^2}\right)^3=\sqrt{(x-5)^2}=|x-5|=x-5.$$
Следовательно, равенство верно.
б) При $$x<5$$ имеем $$x-5<0$$, значит
$$\sqrt[3]{x-5}=-\sqrt[6]{(x-5)^2}.$$
Действительно,
$$-\sqrt[6]{(x-5)^2}=-\sqrt[3]{|x-5|}=\sqrt[3]{x-5},$$
так как при $$x<5$$ выполняется $$|x-5|=5-x=-(x-5).$$
в) Обозначим
$$a=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}, \qquad b=\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}.$$
Тогда
$$a^3+b^3=(9+\sqrt{80})+(9-\sqrt{80})=18,$$
$$ab=\sqrt[3]{(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})}=\sqrt[3]{81-80}=1.$$
Найдём $$a+b$$:
$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$
$$(a+b)^3=(a^3+b^3)+3ab(a+b)=18+3(a+b).$$
Проверим, что $$a+b=3$$:
$$3^3=27,\qquad 18+3\cdot 3=27.$$
Значит, $$a+b=3$$, то есть
$$\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3.$$
г) Обозначим
$$a=\sqrt[3]{\sqrt{50}+7}, \qquad b=\sqrt[3]{\sqrt{50}-7}.$$
Тогда
$$a^3+b^3=(\sqrt{50}+7)+(\sqrt{50}-7)=2\sqrt{50},$$
$$ab=\sqrt[3]{(\sqrt{50}+7)(\sqrt{50}-7)}=\sqrt[3]{50-49}=1.$$
Пусть $$a+b=2$$. Тогда
$$(a+b)^3=a^3+3ab(a+b)+b^3$$
$$2^3=2\sqrt{50}+3\cdot 1 \cdot 2.$$
Так как $$2\sqrt{50}=10\sqrt{2}$$, получаем
$$8=2\sqrt{50}+6,$$
что неверно. Значит, в условии здесь, вероятно, опечатка.
Ответ
а) $$\sqrt[3]{x-5}=\sqrt[6]{(x-5)^2}$$ при $$x\ge 5$$; б) $$\sqrt[3]{x-5}=-\sqrt[6]{(x-5)^2}$$ при $$x<5$$; в) $$3$$; г) данных недостаточно: в условии, вероятно, опечатка.
