Упр.922 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
Задание учебника 2026 года. Решите уравнение:
а) $$\sqrt{\frac{2x+2}{x+2}}-\sqrt{\frac{x+2}{2x+2}}=\frac{7}{12}$$;
б) $$\sqrt{\frac{x-4}{2x+15}}+\sqrt{\frac{2x+15}{x-4}}=5\frac{1}{5}$$;
в) $$\sqrt{x^2-2x+9}+\sqrt{x^2-2x+16}=7$$;
г) $$\sqrt{\frac{6x}{x+1{,}5}}+\sqrt{\frac{x+1{,}5}{6x}}=2{,}5$$.
Задание учебника 2023 года. Представьте выражение в виде дроби с целым рациональным знаменателем:
а) $$\frac{1}{b-\sqrt{x}}$$;
б) $$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt[4]{b}}$$;
в) $$\frac{1}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$$;
г) $$\frac{\sqrt[3]{a^2b^2}}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}$$;
д) $$\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x^2}+x}$$;
е) $$\frac{1}{\sqrt[6]{y}-\sqrt{y}}$$.
а) Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $$b+\sqrt{x}$$:
$$\frac{1}{b-\sqrt{x}}=\frac{b+\sqrt{x}}{(b-\sqrt{x})(b+\sqrt{x})}=\frac{b+\sqrt{x}}{b^2-x}.$$
б) Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}$$:
$$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt[4]{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}}{(\sqrt{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt{a}+\sqrt[4]{b})} =\frac{\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}}{a-\sqrt{b}}.$$
Далее умножим на $$a+\sqrt{b}$$:
$$\frac{\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}}{a-\sqrt{b}} =\frac{(\sqrt{a}+\sqrt[4]{b})(a+\sqrt{b})}{(a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b})} =\frac{a\sqrt{a}+a\sqrt[4]{b}+\sqrt{ab}+\sqrt[4]{b^3}}{a^2-b}.$$
в) Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$$:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} =\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}} {(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})} =\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a-b}.$$
г) Используем формулу суммы кубов:
$$\frac{\sqrt[3]{a^2b^2}}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}} =\frac{\sqrt[3]{a^2b^2}\,(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})} {(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})} =\frac{a\sqrt[3]{b^2}+b\sqrt[3]{a^2}}{a+b}.$$
д) Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt[6]{x}+\sqrt{x}$$:
$$\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x^2}+x} =\frac{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+\sqrt{x})} {(\sqrt[6]{x}+\sqrt{x})(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x^2}+x)}.$$
После преобразований получаем:
$$\frac{1+\sqrt[3]{x}}{1+x}.$$
е) Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt[6]{y^2}+\sqrt[6]{y^5}+y^2$$:
$$\frac{1}{\sqrt[6]{y}-\sqrt{y}} =\frac{\sqrt{y}}{\sqrt[6]{y^2}-y} =\frac{\sqrt{y}\,(\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{y^5}+y^2)} {(\sqrt[3]{y^2}-y)(\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{y^5}+y^2)}.$$
В результате:
$$\frac{\sqrt[6]{y^5}+y\sqrt[6]{y}+y\sqrt{y}}{y-y^2}.$$
Ответ
а) $$\frac{b+\sqrt{x}}{b^2-x}$$; б) $$\frac{a\sqrt{a}+a\sqrt[4]{b}+\sqrt{ab}+\sqrt[4]{b^3}}{a^2-b}$$; в) $$\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a-b}$$; г) $$\frac{a\sqrt[3]{b^2}+b\sqrt[3]{a^2}}{a+b}$$; д) $$\frac{1+\sqrt[3]{x}}{1+x}$$; е) $$\frac{\sqrt[6]{y^5}+y\sqrt[6]{y}+y\sqrt{y}}{y-y^2}$$.
