Упр.860 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$x^3=2$$; б) $$x^4=2$$; в) $$x^{\frac{1}{3}}=2$$; г) $$x^{\frac{1}{4}}=2$$; д) $$x^{\frac{1}{6}}=2$$.
2. Докажите, что если $$(b_n)$$ — геометрическая прогрессия и $$b_p\cdot b_m=b_k\cdot b_l$$, то $$p+m=k+l$$.

Пусть $$b_n$$ — геометрическая прогрессия. Тогда её общий член можно записать в виде

$$b_n=b_1q^{n-1}.$$

По условию

$$b_p\cdot b_m=b_k\cdot b_l.$$

Подставим формулу общего члена:

$$b_1q^{p-1}\cdot b_1q^{m-1}=b_1q^{k-1}\cdot b_1q^{l-1}.$$

Получаем

$$b_1^2q^{p+m-2}=b_1^2q^{k+l-2}.$$

Так как $$b_1^2\neq 0$$, то

$$q^{p+m-2}=q^{k+l-2}.$$

Следовательно, показатели степеней равны:

$$p+m-2=k+l-2,$$

откуда

$$p+m=k+l.$$

Ответ

$$p+m=k+l.$$