Упр.842 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что функции, заданные формулами $$y=\frac{1}{x-2}$$, где $$x>2$$, и $$y=\frac{2x+1}{x}$$, где $$x>0$$, являются взаимно обратными функциями.
2. Даны последовательности $$(a_n)$$ и $$(b_n)$$, где $$a_n=2^{n+4}$$, $$b_n=2n+9$$. Докажите, что $$a_n>b_n$$ при любом натуральном значении $$n$$.

Докажем неравенство методом математической индукции.

1) При $$n=1$$ имеем:

$$a_1=2^{1+4}=2^5=32,$$

$$b_1=2\cdot 1+9=11.$$

Следовательно, $$a_1>b_1.$$

2) Предположим, что для некоторого $$n=k$$ верно $$a_k>b_k.$$ Докажем, что тогда $$a_{k+1}>b_{k+1}.$$

Имеем:

$$a_{k+1}-b_{k+1}=2^{k+5}-(2(k+1)+9).$$

Преобразуем:

$$a_{k+1}-b_{k+1}=2^{k+5}-2k-11 =2\cdot 2^{k+4}-2k-11 =2a_k-2k-11.$$

Так как $$a_k>b_k$$, то $$a_k\ge 2k+10$$, значит

$$a_{k+1}-b_{k+1}=2a_k-2k-11>2(2k+9)-2k-11=2k+7>0.$$

Следовательно, $$a_{k+1}>b_{k+1}.$$

Итак, $$a_n>b_n$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$a_n>b_n$$ при любом натуральном $$n$$.