Упр.837 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Известно, что $$g$$ — функция, обратная функции $$f$$, и что $$D(f)=[-20; 40]$$, $$E(f)=[-5; 10]$$. Найдите $$D(g)$$ и $$E(g)$$.
2. Решите уравнение:
   а) $$\frac{x-4}{x+2}+\frac{x+2}{x-4}=4\frac{1}{4}$$;
   б) $$\frac{x-6}{x-1}+\frac{x-1}{x-6}=2\frac{1}{6}$$.

1. а) $$\frac{x-4}{x+2}+\frac{x+2}{x-4}=4\frac14$$

   Преобразуем смешанное число: $$4\frac14=\frac{17}{4}.$$ Тогда

   $$\frac{x-4}{x+2}+\frac{x+2}{x-4}=\frac{17}{4}.$$

   ОДЗ: $$x\ne -2,\; x\ne 4.$$

   Умножим обе части на $$4(x+2)(x-4)$$:

   $$4(x-4)^2+4(x+2)^2=17(x+2)(x-4).$$

   Раскроем скобки:

   $$4(x^2-8x+16)+4(x^2+4x+4)=17(x^2-2x-8),$$
   $$4x^2-32x+64+4x^2+16x+16=17x^2-34x-136,$$
   $$9x^2-18x-216=0,$$
   $$x^2-2x-24=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-24)=4+96=100,$$
   $$x=\frac{2\pm 10}{2}.$$

   $$x_1=-4,\quad x_2=6.$$

2. б) $$\frac{x-6}{x-1}+\frac{x-1}{x-6}=2\frac16$$

   Преобразуем смешанное число: $$2\frac16=\frac{13}{6}.$$ Тогда

   $$\frac{x-6}{x-1}+\frac{x-1}{x-6}=\frac{13}{6}.$$

   ОДЗ: $$x\ne 1,\; x\ne 6.$$

   Умножим обе части на $$6(x-1)(x-6)$$:

   $$6(x-6)^2+6(x-1)^2=13(x-1)(x-6).$$

   Раскроем скобки:

   $$6(x^2-12x+36)+6(x^2-2x+1)=13(x^2-7x+6),$$
   $$6x^2-72x+216+6x^2-12x+6=13x^2-91x+78,$$
   $$x^2-7x-144=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=(-7)^2-4\cdot 1\cdot(-144)=49+576=625,$$
   $$x=\frac{7\pm 25}{2}.$$

   $$x_1=-9,\quad x_2=16.$$

Ответ

а) $$-4,\; 6$$; б) $$-9,\; 16$$.