Упр.799 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что произведение $$P_n$$ первых $$n$$ членов последовательности $$1-\frac{4}{1},\ 1-\frac{4}{9},\ 1-\frac{4}{25},\ \ldots,\ 1-\frac{4}{(2n-1)^2},\ \ldots$$ равно $$\frac{1+2n}{1-2n}$$.
2. Найдите сумму:
   а) $$1+a+a^2+\ldots+a^{n-1}$$;
   б) $$\left(a+\frac{1}{a}\right)+\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)+\left(a^3+\frac{1}{a^3}\right)+\ldots\left(a^n+\frac{1}{a^n}\right)$$.

а) Это сумма первых $$n$$ членов геометрической прогрессии с первым членом $$b_1=1$$ и знаменателем $$q=a$$. Тогда

$$S=1+a+a^2+\dots+a^{n-1}=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{a^n-1}{a-1}.$$

б) Разобьём сумму на две геометрические прогрессии:

$$S=\left(a+a^2+\dots+a^n\right)+\left(\frac1a+\frac1{a^2}+\dots+\frac1{a^n}\right).$$

Первая сумма:

$$S_1=a+a^2+\dots+a^n=\frac{a(a^n-1)}{a-1}=\frac{a^{n+1}-a}{a-1}.$$

Вторая сумма:

$$S_2=\frac1a+\frac1{a^2}+\dots+\frac1{a^n}.$$

Это геометрическая прогрессия с первым членом $$\frac1a$$ и знаменателем $$\frac1a$$, поэтому

$$S_2=\frac{\frac1a\left(\left(\frac1a\right)^n-1\right)}{\frac1a-1} =\frac{1-a^n}{a^n(a-1)}.$$

Тогда

$$S=S_1+S_2=\frac{a^{n+1}-a}{a-1}+\frac{1-a^n}{a^n(a-1)}.$$

Приведём к общему виду:

$$S=\frac{a^{2n+1}-a^{n+1}+a^n-1}{a^n(a-1)} =\frac{(a^{n+1}+1)(a^n-1)}{a^n(a-1)}.$$

Ответ

а) $$\frac{a^n-1}{a-1}$$;

б) $$\frac{(a^{n+1}+1)(a^n-1)}{a^n(a-1)}$$.