Упр.69 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Постройте график функции $$f$$, зная, что $$f$$ — чётная функция и её значения при $$x \ge 0$$ могут быть найдены по формуле:
   
   а) $$f(x)=x^3$$;
   
   б) $$f(x)=\sqrt{x}$$;
   
   в) $$f(x)=|x-3|$$;
   
   г) $$f(x)=x-2$$.
2. Докажите, что функция $$g(x)$$ ограниченная, если:
   
   а) $$g(x)=\sqrt{-x^2+4x+3}$$;
   
   б) $$g(x)=\frac{1}{x^2+5}$$.

а) Рассмотрим выражение под корнем:

$$-x^2+4x+3=-(x^2-4x)+3=-(x-2)^2+7.$$

Так как $$(x-2)^2 \ge 0,$$ то

$$-(x-2)^2 \le 0,$$

значит

$$-x^2+4x+3 \le 7.$$

Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$-x^2+4x+3 \ge 0.$$

Следовательно,

$$0 \le \sqrt{-x^2+4x+3} \le \sqrt7.$$

Значит, функция $$g(x)=\sqrt{-x^2+4x+3}$$ ограничена.

б) Для функции

$$g(x)=\frac{1}{x^2+5}$$

имеем $$x^2 \ge 0,$$ поэтому

$$x^2+5 \ge 5.$$

Тогда

$$0<\frac{1}{x^2+5}\le \frac{1}{5}.$$

Следовательно, функция $$g(x)=\frac{1}{x^2+5}$$ ограничена.

Ответ

Обе функции ограничены:
а) $$0 \le g(x) \le \sqrt7;$$
б) $$0 < g(x) \le \frac15.$$