Упр.578 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Один велосипедист выехал из пункта $$A$$ в пункт $$B$$, и в то же время другой велосипедист выехал из пункта $$B$$ в пункт $$A$$. Велосипедисты встретились через $$3$$ ч после начала движения. В конечный пункт первый велосипедист прибыл на $$2{,}5$$ ч позже, чем второй. Найдите скорости велосипедистов, если расстояние между пунктами $$A$$ и $$B$$ равно $$90$$ км.
2. Найдите множество решений системы неравенств $$\begin{cases}(x-5)^2+y^2?25,\\(x+5)^2+y^2?25.\end{cases}$$

Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} (x-5)^2+y^2 \le 25,\\ (x+5)^2+y^2 \le 25. \end{cases}$$

Вычтем из первого неравенства второе:

$$(x-5)^2-(x+5)^2 \le 0$$

$$x^2-10x+25-\bigl(x^2+10x+25\bigr)\le 0$$

$$-20x \le 0,\qquad x \ge 0.$$

Теперь учтём второе неравенство. Так как $$x \ge 0,$$ то для выполнения обоих неравенств точка должна лежать одновременно внутри двух окружностей с центрами $$(-5,0)$$ и $$(5,0)$$ радиуса $$5.$$ Их общая часть при $$x \ge 0$$ возможна только при $$x=0.$$

Подставим $$x=0$$ в систему:

$$\begin{cases} 25+y^2 \le 25,\\ 25+y^2 \le 25. \end{cases}$$

Отсюда

$$y^2 \le 0 \Rightarrow y=0.$$

Следовательно, единственная точка, удовлетворяющая системе, — $$(0,0).$$

Ответ

$$(0;\,0)$$