Упр.577 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Две машинистки могут перепечатать рукопись за $$12\text{ ч}$$. Одна из них может перепечатать половину рукописи за то же время, за которое вторая перепечатает третью часть рукописи. За сколько часов каждая машинистка может перепечатать рукопись?
2. Покажите штриховкой множество решений неравенства:
   а) $$y(x^2+y^2-16)?0$$;
   б) $$(2x+y)(x^2+y^2+1)?0$$;
   в) $$x(x^2+y^2-25)?0$$;
   г) $$(x-3y)(x^2+y^2+2)?0$$.

1. а) $$y(x^2+y^2-16)\ge 0.$$

   Произведение неотрицательно, если оба множителя одного знака. Так как $$x^2+y^2-16\ge 0$$ задаёт внешность и границу окружности $$x^2+y^2=16$$, а $$y\ge 0$$ — верхнюю полуплоскость, получаем нужную область как объединение частей, где знаки множителей совпадают.

   Граница состоит из оси $$Ox$$ и окружности $$x^2+y^2=16$$.

2. б) $$(2x+y)(x^2+y^2+1)\le 0.$$

   Так как $$x^2+y^2+1>0$$ при любых $$x,y$$, знак произведения определяется только множителем $$2x+y$$. Поэтому

   $$2x+y\le 0,$$

   то есть

   $$y\le -2x.$$

3. в) $$x(x^2+y^2-25)\le 0.$$

   Здесь $$x^2+y^2-25\le 0$$ задаёт круг радиуса $$5$$ с центром в начале координат. Тогда множество решений — точки, для которых знаки множителей противоположны или один из них равен нулю. Граница состоит из оси $$Oy$$ и окружности $$x^2+y^2=25$$.

4. г) $$(x-3y)(x^2+y^2+2)\ge 0.$$

   Так как $$x^2+y^2+2>0$$ при любых $$x,y$$, неравенство равносильно

   $$x-3y\ge 0,$$

   то есть

   $$y\le \frac{x}{3}.$$

Ответ

а) область, где $$y(x^2+y^2-16)\ge 0$$; б) $$y\le -2x$$; в) область, где $$x(x^2+y^2-25)\le 0$$; г) $$y\le \frac{x}{3}$$.