Упр.50 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что если $$f(x)$$ — убывающая функция, а $$g(x)$$ — возрастающая функция, то $$y=f(g(x))$$ — убывающая функция. Что в этом случае можно сказать о функции $$?(x)=g(f(x))$$? Сформулируйте свойство композиции двух функций с разным характером монотонности.
2. Найдите, при каких значениях параметра $$b$$ функция монотонна:
   $$f(x)=\begin{cases}x^3, & \text{если } x?0;\\ 2x+b, & \text{если } x>0.\end{cases}$$

Рассмотрим функцию

$$f(x)= \begin{cases} x^3, & x\le 0,\\ 2x+b, & x>0. \end{cases}$$

На промежутке $$x\le 0$$ функция $$x^3$$ возрастает, а на промежутке $$x>0$$ функция $$2x+b$$ тоже возрастает при любом $$b$$, так как её угловой коэффициент равен $$2>0$$.

Чтобы вся функция была монотонной на всей области определения, нужно, чтобы при переходе через точку $$x=0$$ не было убывания. Для этого значение слева в точке $$0$$ должно совпадать с началом правой ветви:

$$f(0)=0^3=0,$$

а при $$x>0$$ должно быть

$$2\cdot 0+b=0.$$

Отсюда

$$b=0.$$

Ответ

$$b=0$$